Variables continuas y distribución normal
La probabilidad como área bajo la curva, la regla 68–95–99.7 y sus cálculos en Excel
Tema T08 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones
Variables continuas y distribución normal
La probabilidad como área bajo la curva, la regla 68–95–99.7 y sus cálculos en Excel
¿Cuántos becerros pasarán de 240 kg al destete?
De qué trata este tema
Hasta T07 las variables se contaban: crías, lechones, partos, quelites. Pero muchas variables del campo se miden: el peso de un becerro, la altura de una planta, el rendimiento de una parcela. Esas variables continuas pueden tomar cualquier valor con decimales, y su probabilidad ya no se calcula valor por valor sino como área bajo una curva. La curva más usada es la distribución normal, la «campana»: describe bien muchas medidas biológicas y es la base de casi todo lo que verás en la Unidad III.
Necesitas T05 (variable aleatoria) y, de la Unidad I, histograma, media y desviación estándar
Este tema T08 · Variables continuas y distribución normal
Sigue T09 · Estandarización y puntuación z
Al terminar el tema podrás:
- Explicar por qué en una variable continua la probabilidad es un área y P(X = un valor exacto) = 0.
- Describir la curva normal con su media μ y su desviación estándar σ.
- Usar la regla 68–95–99.7 para calcular probabilidades aproximadas a mano.
- Calcular en Excel probabilidades con DISTR.NORM.N y valores de corte con INV.NORM.
Palabras clave variable continua área bajo la curva distribución normal μ y σ regla empírica (68–95–99.7) probabilidad acumulada valor de corte (percentil)
1. Un problema para empezar: ¿cuántos becerros llevan premio?
En un rancho de cría, el peso al destete de los becerros tiene una media de 210 kg y una desviación estándar de 25 kg, según los registros de varios años. Un comprador ofrece un premio por cada becerro de más de 240 kg. Este año se destetarán 150 becerros. ¿Cuántos se espera que alcancen el premio?
No se puede contestar con la binomial ni con la Poisson: el peso no se cuenta, se mide. Con la distribución normal se calcula que la proporción de becerros de más de 240 kg es 0.115, así que se esperan 150 × 0.115 ≈ 17 becerros con premio. Con el mismo cálculo se puede saber qué peso deja al 10 % más pesado del hato o cuántos becerros quedarán por debajo de un peso mínimo.
2. Por qué no basta con lo que ya sabes
En T05 armaste una tabla con cada valor y su probabilidad. Con el peso eso no funciona: entre 240 y 241 kg hay infinitos valores (240.1, 240.15, 240.157…). La probabilidad de que un becerro pese exactamente 240.000… kg es prácticamente cero. Lo que tiene sentido preguntar es la probabilidad de un intervalo: más de 240 kg, menos de 180 kg, entre 190 y 230 kg. Y para eso hace falta una curva.
3. Dónde vas a usar esto
- Producción animal. Pesos al destete, al sacrificio o de huevo; qué proporción entra en cada clase de precio.
- Agronomía. Rendimiento por parcela, altura de plantas, contenido de azúcar en la fruta: qué proporción cumple una norma.
- Calidad. Qué proporción de un lote queda fuera de especificación (frutos chicos, huevos fuera de tamaño).
- Selección. Qué valor de corte deja al mejor 10 % para usarlo como reproductor o como semilla.
- Unidad III. Los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis se construyen con la normal (y con la t de Student, T10).
4. La distribución normal
4.1 Del histograma a la curva: la probabilidad es un área
En la Unidad I hiciste histogramas: la altura de cada barra mostraba cuántos datos caían en cada intervalo. Si se dibuja el histograma de modo que el área total de las barras sea 1, el área de las barras de un intervalo es la proporción de datos en ese intervalo. Con muchos datos e intervalos cada vez más angostos, el histograma se parece a una curva suave:
En una variable continua: P(a ≤ X ≤ b) = área bajo la curva entre a y b
El área total bajo la curva es 1. Un solo punto no tiene área: P(X = 240) = 0, y por eso da lo mismo escribir < o ≤.
4.2 La curva normal
La distribución normal tiene forma de campana: es simétrica, la mayoría de los valores está cerca del centro y los extremos son cada vez más raros. Queda definida por dos números:
- μ (media): dónde está el centro. En la normal, media, mediana y moda coinciden.
- σ (desviación estándar): qué tan ancha es la campana. Con σ grande los valores están más dispersos.
Se escribe X ~ N(μ, σ). Los pesos al destete del problema son N(210, 25). Cambiar μ mueve la campana a la izquierda o a la derecha; cambiar σ la hace más angosta o más ancha, pero el área total siempre es 1.
No todo es normal. Los conteos con muchos ceros (pulgones de T07), los tiempos de sobrevivencia o los ingresos suelen ser sesgados: una cola larga hacia un lado. Antes de usar la normal conviene mirar el histograma de los datos.
4.3 La regla 68–95–99.7
En cualquier normal, sin importar μ y σ, se cumple aproximadamente:
| Intervalo | Proporción de valores | Becerros N(210, 25) |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | ≈ 68 % | 185 a 235 kg |
| μ ± 2σ | ≈ 95 % | 160 a 260 kg |
| μ ± 3σ | ≈ 99.7 % | 135 a 285 kg |
Como la curva es simétrica, lo que queda fuera se reparte por mitades. Fuera de μ ± 1σ queda 32 %: 16 % arriba y 16 % abajo. Fuera de μ ± 2σ queda 5 %: 2.5 % de cada lado. Así, P(peso > 235 kg) ≈ 0.16 y P(peso < 160 kg) ≈ 0.025. Un valor a más de 3σ de la media (más de 285 kg) es muy raro: vale la pena revisarlo.
4.4 Áreas en Excel
Para valores que no caen justo en μ ± 1σ, 2σ o 3σ, se usa la función DISTR.NORM.N (en inglés, NORM.DIST). Con VERDADERO devuelve el área a la izquierda de x:
=DISTR.NORM.N(x, μ, σ, VERDADERO) → P(X ≤ x)
Siempre VERDADERO. (Con FALSO da la altura de la curva, que no es una probabilidad).
| Lo que se pregunta | Área | En Excel (μ = 210, σ = 25) |
|---|---|---|
| Menos de 180 kg | A la izquierda | =DISTR.NORM.N(180,210,25,VERDADERO) |
| Más de 240 kg | 1 − la de la izquierda | =1-DISTR.NORM.N(240,210,25,VERDADERO) |
| Entre 190 y 230 kg | Izquierda de b − izquierda de a | =DISTR.NORM.N(230,…)-DISTR.NORM.N(190,…) |
Resultados: P(X < 180) = 0.1151; P(X > 240) = 0.1151; P(190 ≤ X ≤ 230) = 0.5763. Dibujar la campana y sombrear el área antes de escribir la fórmula evita casi todos los errores.
Prueba Área bajo la campana Peso de huevo en gramos (no es el caso del Excel). Mueve la media, la desviación estándar y los límites: el área sombreada es la probabilidad, con la fórmula de Excel que la calcula.
4.5 El valor que deja cierta proporción: INV.NORM
A veces la pregunta es al revés: no «qué proporción pesa más de 240», sino «qué peso deja arriba al 10 % más pesado». Para eso se usa INV.NORM (en inglés, NORM.INV), que recibe el área a la izquierda y devuelve el valor de x:
=INV.NORM(área a la izquierda, μ, σ) → x
El 10 % más pesado deja 90 % a la izquierda: =INV.NORM(0.9,210,25) = 242.0 kg.
El 5 % más ligero: =INV.NORM(0.05,210,25) = 168.9 kg. Ese valor es el percentil 5, la misma idea de percentil de la Unidad I.
4.6 Ejemplo resuelto: rendimiento de maíz
En una zona de riego, el rendimiento de maíz por parcela sigue aproximadamente una normal con μ = 9.5 t/ha y σ = 1.2 t/ha. Un programa de apoyo pide al menos 8 t/ha.
- Regla empírica primero: el 68 % de las parcelas da entre 8.3 y 10.7 t/ha; el 95 %, entre 7.1 y 11.9. 8 t/ha está entre 1σ y 2σ abajo de la media, así que menos de 16 % de las parcelas queda por debajo.
- P(menos de 8 t/ha) = DISTR.NORM.N(8,9.5,1.2,VERDADERO) = 0.1056: una de cada diez parcelas no cumple.
- P(entre 8 y 11 t/ha) = DISTR.NORM.N(11,…) − DISTR.NORM.N(8,…) = 0.8944 − 0.1056 = 0.7887.
- El 10 % de parcelas más productivas da más de
=INV.NORM(0.9,9.5,1.2)= 11.04 t/ha.
Cómo se comunica: «Nueve de cada diez parcelas cumplen el mínimo de 8 t/ha; las del 10 % superior pasan de 11 t/ha». Fíjate que la regla empírica dio una idea rápida (menos de 16 %) y Excel la precisó (10.6 %).
4.7 Lo que se gana y lo que se pierde
Con sólo μ y σ la normal da la proporción de cualquier intervalo y cualquier valor de corte, sin tener todos los datos. A cambio, es un modelo: describe bien variables simétricas y en forma de campana, pero se equivoca con variables sesgadas o con muchos ceros, y en los extremos (más allá de 3σ) suele fallar más. Además, μ y σ se estiman con registros; con pocos datos esas estimaciones cambian. En el Excel compararás lo que dice el modelo con lo que dicen los datos. En T09 verás cómo pasar cualquier normal a una sola escala, la puntuación z, para comparar variables distintas.
¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que un becerro pese exactamente 240.000… kg?
- 0.115
- Prácticamente 0
- 0.5
En una variable continua un solo valor no tiene área bajo la curva. Lo que tiene probabilidad es un intervalo, como «más de 240 kg».
2. Si el peso es N(210, 25), ¿qué proporción de becerros pesa más de 235 kg?
- ≈ 16 %
- ≈ 32 %
- ≈ 68 %
235 = μ + 1σ. Entre μ − σ y μ + σ está el 68 %; el 32 % restante se reparte entre los dos lados, así que arriba queda 16 %.
3. Para calcular P(X > 240) con N(210, 25) en Excel se escribe…
=DISTR.NORM.N(240,210,25,VERDADERO)=DISTR.NORM.N(240,210,25,FALSO)=1-DISTR.NORM.N(240,210,25,VERDADERO)
DISTR.NORM.N con VERDADERO da el área a la izquierda (menos de 240). Para «más de» se resta de 1. Con FALSO da la altura de la curva, que no es una probabilidad.
4. ¿Qué fórmula da el peso que deja arriba al 10 % más pesado del hato?
=INV.NORM(0.1,210,25)=INV.NORM(0.9,210,25)=DISTR.NORM.N(0.9,210,25,VERDADERO)
INV.NORM recibe el área a la izquierda. Si arriba queda el 10 %, a la izquierda queda el 90 %: =INV.NORM(0.9,210,25) = 242 kg.
5. Lo que harás
Excel del Tema T08 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T08_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.
Continua o discreta y regla empírica a mano (hoja 1_Normal_a_mano)
Caso A: ¿discreta o continua? Seis variables de una granja.
Caso B: tilapias. En un estanque de engorda, el peso a la cosecha sigue una normal con μ = 450 g y σ = 40 g. Se cosecharán 2 000 peces.
Para qué te sirve hacerlo a mano. La regla 68–95–99.7 te da en segundos una idea de la respuesta. Con ella podrás revisar si lo que da Excel tiene sentido.
- Escribe tu nombre y la fecha.
- Caso A. Elige Discreta o Continua para cada variable.
- Caso B. Completa los límites de los intervalos μ ± 1σ, μ ± 2σ y μ ± 3σ.
- Con la regla empírica y la simetría, calcula las probabilidades y el número de peces que se piden. Dibuja la campana en un papel y sombrea cada área.
- Contesta las Preguntas 1 y 2.
Los intervalos deben quedar centrados en 450. Más de μ + 1σ es 16 %, no 32 %: lo que queda fuera se reparte entre los dos lados.
Normal en Excel (hoja 2_Normal_Excel)
El caso: los becerros del problema de la sección 1, con el modelo N(210, 25). La hoja trae también los pesos reales de los 150 becerros destetados este año, para comparar lo que dice el modelo con lo que pasó.
Para qué: μ y σ están en celdas; si cambia el hato (por ejemplo, otra raza), sólo se cambian esos dos números.
- Paso 1 · Los datos. Calcula la media (
=PROMEDIO) y la desviación estándar (=DESVEST.M) de los pesos. Compáralas con el modelo. - Paso 2 · Probabilidades con el modelo. La primera fila ya tiene la fórmula de modelo
=1-DISTR.NORM.N(240,$H$6,$H$7,VERDADERO). Completa P(menos de 180 kg), P(entre 190 y 230 kg) y los becerros con premio esperados. - Paso 3 · Comprobación con los datos. Calcula la proporción real de becerros en cada intervalo. La primera fila ya tiene
=CONTAR.SI($B$7:$B$156,">240")/CONTAR($B$7:$B$156); para el intervalo usa=CONTAR.SI.CONJUNTO($B$7:$B$156,">=190",$B$7:$B$156,"<=230")/CONTAR($B$7:$B$156). - Paso 4 · Valores de corte. Con
=INV.NORMcalcula el peso que deja arriba al 10 % más pesado y el que deja abajo al 5 % más ligero. - Paso 5 · Responde las Preguntas 3 a 6.
Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés: DISTR.NORM.N = NORM.DIST, INV.NORM = NORM.INV, PROMEDIO = AVERAGE, DESVEST.M = STDEV.S, CONTAR.SI = COUNTIF, CONTAR.SI.CONJUNTO = COUNTIFS, CONTAR = COUNT, VERDADERO = TRUE.
6. Antes de entregar
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