Variable aleatoria discreta y valor esperado

Del registro a la distribución de probabilidad, y cuánto esperar en promedio

Tema T05 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones

Variable aleatoria discreta y valor esperado

Del registro a la distribución de probabilidad, y cuánto esperar en promedio

¿Alcanzan 60 cabras para entregar 100 cabritos?

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De qué trata este tema

En T01 a T04 calculaste la probabilidad de un evento: que un huevo eclosione, que una vaca quede gestante. Muchas preguntas del campo, en cambio, son de cuántos: cuántas crías tendrá una cabra, cuántos lechones se destetarán por camada, cuánto dinero dejará una hectárea. Cuando el resultado es un número que depende del azar, se tiene una variable aleatoria. En este tema armarás su distribución de probabilidad (la tabla con cada valor y su probabilidad) y calcularás el valor esperado: cuánto se obtiene en promedio si la situación se repite muchas veces.

Necesitas T01 (probabilidad con registros) y, de la Unidad I, tabla de frecuencias, media y desviación estándar

Este tema T05 · Variable aleatoria discreta y valor esperado

Sigue T06 · Distribución binomial

Al terminar el tema podrás:

  1. Distinguir una variable aleatoria discreta de una continua.
  2. Construir la distribución de probabilidad de una variable discreta a partir de registros y comprobar que está bien hecha.
  3. Calcular probabilidades acumuladas como P(X ≥ 2) o P(X ≤ 8).
  4. Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar, y usar el valor esperado para comparar opciones.

Palabras clave variable aleatoria discreta continua distribución de probabilidad probabilidad acumulada valor esperado varianza desviación estándar

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el Excel: ahí está el problema, para qué sirve el tema y cómo se hace cada cálculo, con un ejemplo resuelto. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel (1_Distribucion_a_mano y 2_Valor_esperado_Excel). Puedes hacer este tema en clase o de tarea: todo lo que necesitas está aquí. Si te atoras, vuelve al ejemplo resuelto de la sección 4.

1. Un problema para empezar: ¿alcanzan los cabritos?

Un productor de cabras tiene 60 cabras gestantes y ya se comprometió a entregar 100 cabritos a un comprador. Una cabra puede parir 1, 2 o 3 crías. En los registros de sus últimos 200 partos encontró:

Crías por parto 1 2 3 Total
Partos 80 100 20 200

¿Le alcanza? Si cada cabra pariera una cría, tendría 60; si todas parieran gemelos, 120. Ninguna de las dos cosas va a pasar. Lo que sirve es saber cuántas crías hay en promedio por parto: con los registros sale 1.70, así que con 60 cabras se esperan 60 × 1.70 = 102 cabritos. Le alcanza, pero con muy poco margen. Al terminar el tema sabrás de dónde sale ese 1.70 y por qué «en promedio» no es lo mismo que «seguro».

2. Por qué no basta con lo que ya sabes

Con T01 puedes calcular P(2 crías) = 100 ÷ 200 = 0.50, pero esa probabilidad sola no dice cuántos cabritos esperar. Hace falta juntar todos los valores posibles con sus probabilidades y resumirlos en un número. Es lo mismo que hiciste en la Unidad I con la media de una tabla de frecuencias, sólo que ahora las frecuencias se convierten en probabilidades y el resultado se usa para predecir lo que pasará, no sólo para describir lo que ya pasó.

3. Dónde vas a usar esto

  • Producción animal. Crías por parto, lechones destetados por camada, huevos por gallina por semana: cuántos animales o productos esperar.
  • Decisiones con dinero. Comparar dos cultivos, decidir si conviene un seguro agrícola o una vacuna, cuando el resultado depende del clima o de una enfermedad.
  • Planeación. Cuántos corrales, cuánto alimento o cuántos empaques preparar.
  • Siguientes temas. La binomial (T06) y la Poisson (T07) son distribuciones de variables discretas que ya vienen con fórmula: no hay que armar la tabla con registros.

4. Distribución de probabilidad y valor esperado

4.1 Variable aleatoria: discreta o continua

Una variable aleatoria es un número que resulta de un experimento y que no se conoce antes de hacerlo. Se escribe con mayúscula (X) y sus valores con minúscula (x). Como en la Unidad I con las variables cuantitativas, hay dos tipos:

Tipo Qué valores toma Ejemplos
Discreta Valores que se cuentan: 0, 1, 2, 3… Crías por parto, lechones destetados, frutos dañados en una caja, garrapatas en un becerro
Continua Cualquier valor en un intervalo, con decimales Peso al destete, altura de una planta, rendimiento por hectárea, temperatura

En este tema trabajas con variables discretas. Las continuas se ven en T08.

4.2 La distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable discreta es la lista de todos sus valores posibles con la probabilidad de cada uno. Se escribe p(x) = P(X = x). Cuando viene de registros, cada probabilidad es la frecuencia relativa (T01): el número de veces que salió ese valor entre el total.

Crías (x) Partos (frecuencia) p(x)
1 80 80 ÷ 200 = 0.40
2 100 100 ÷ 200 = 0.50
3 20 20 ÷ 200 = 0.10
Total 200 1.00

Una distribución está bien hecha si cumple dos condiciones, que conviene revisar siempre:

0 ≤ p(x) ≤ 1 para cada valor, y Σ p(x) = 1

Σ (sigma) significa «suma de todos». Que sumen 1 quiere decir que no falta ni sobra ningún valor posible.

4.3 Probabilidades acumuladas

Muchas preguntas son de «al menos» o «a lo más». Se contestan sumando las probabilidades de los valores que cumplen:

  • P(X ≥ 2), «al menos 2 crías» = p(2) + p(3) = 0.50 + 0.10 = 0.60.
  • P(X ≤ 2), «a lo más 2 crías» = p(1) + p(2) = 0.40 + 0.50 = 0.90.
  • La probabilidad acumulada P(X ≤ x) va sumando de arriba hacia abajo: 0.40, 0.90, 1.00. El último valor siempre es 1.

Con el complemento de T02 también se puede: P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40 = 0.60. En Excel se usa mucho esta forma.

4.4 El valor esperado

El valor esperado (también llamado esperanza o media de la variable) es el promedio que se obtendría si el experimento se repitiera muchísimas veces. Se calcula multiplicando cada valor por su probabilidad y sumando:

E(X) = μ = Σ x · p(x)

Cabras: E(X) = 1 × 0.40 + 2 × 0.50 + 3 × 0.10 = 0.40 + 1.00 + 0.30 = 1.70 crías por parto.

Tres ideas para leerlo bien:

  • No tiene que ser un valor posible. Ninguna cabra pare 1.7 crías; 1.7 es el promedio de muchos partos.
  • Es un promedio ponderado. Es la misma media de una tabla de frecuencias de la Unidad I (Σ x · f ÷ n), con las frecuencias relativas como pesos.
  • Sirve para escalar. Con 60 cabras se esperan 60 × 1.70 = 102 cabritos. Un número esperado se multiplica por el número de veces que se repite el experimento.

Prueba El valor esperado es el punto de equilibrio Mazorcas por planta de maíz criollo (no es el caso del Excel). Mueve las probabilidades y mira dónde queda E(X); después revisa plantas al azar y compara su promedio con E(X).

4.5 Varianza y desviación estándar

El valor esperado dice dónde está el centro; la desviación estándar dice cuánto se alejan los resultados de ese centro, igual que en la Unidad I. Se calcula con las distancias al cuadrado, ponderadas por su probabilidad:

σ² = Σ (x − μ)² · p(x) σ = √σ²

σ² es la varianza y σ (sigma minúscula) la desviación estándar, en las mismas unidades que la variable.

x x − μ (x − μ)² p(x) (x − μ)² · p(x)
1 −0.7 0.49 0.40 0.196
2 0.3 0.09 0.50 0.045
3 1.3 1.69 0.10 0.169
Varianza σ² 0.410

σ = √0.41 = 0.64 crías. Con dos variables del mismo valor esperado, la de mayor σ es más incierta: sus resultados se alejan más del promedio.

4.6 Ejemplo resuelto: ¿cuánto deja una hectárea de sandía?

Un productor calcula la ganancia de una hectárea de sandía según cómo venga el temporal. Con los años anteriores estima estas probabilidades:

Temporal Probabilidad Ganancia por hectárea
Bueno 0.6 $40 000
Regular 0.3 $10 000
Malo 0.1 −$30 000
  1. ¿Está bien la distribución? 0.6 + 0.3 + 0.1 = 1. Sí.
  2. Valor esperado: 40 000 × 0.6 + 10 000 × 0.3 + (−30 000) × 0.1 = 24 000 + 3 000 − 3 000 = $24 000 por hectárea. La pérdida entra con signo negativo.
  3. Desviación estándar: (16 000)² × 0.6 + (−14 000)² × 0.3 + (−54 000)² × 0.1 = 504 000 000; σ = √504 000 000 ≈ $22 450.
  4. P(perder dinero) = P(temporal malo) = 0.10.

Cómo se comunica: «En promedio, cada hectárea deja unos $24 000, pero el resultado varía mucho (σ ≈ $22 400) y uno de cada diez años se pierden $30 000». Si el productor no aguanta una pérdida así, quizá le convenga un cultivo con menor valor esperado pero menos riesgo. Eso harás en el Caso B.

4.7 Lo que se gana y lo que se pierde

Con la distribución y el valor esperado se resume una situación incierta en dos números (centro y variación) y se pueden comparar opciones. A cambio, hay tres cuidados: las probabilidades vienen de registros pasados y sirven si las condiciones no cambian; el valor esperado es un promedio de largo plazo, así que en un solo año o un solo parto puede salir algo muy distinto; y decidir sólo por el valor esperado ignora el riesgo. Para eso sirve la desviación estándar o la probabilidad de perder.

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Una gallina pone 0, 1 o 2 huevos al día con probabilidades 0.1, 0.6 y 0.3. ¿Cuál es el valor esperado?

  1. 1
  2. 1.2
  3. 0.9

E(X) = 0 × 0.1 + 1 × 0.6 + 2 × 0.3 = 1.2 huevos al día. El 1 sale de promediar 0, 1 y 2 sin tomar en cuenta qué tan probable es cada uno.

2. Una tabla dice p(0) = 0.2, p(1) = 0.5 y p(2) = 0.4. ¿Qué está mal?

  1. Nada
  2. Las probabilidades suman 1.1
  3. Falta el valor 3

Las probabilidades de todos los valores posibles deben sumar exactamente 1. Aquí suman 1.1, así que hay un error en la tabla.

3. El valor esperado de crías por parto es 1.7. ¿Qué quiere decir?

  1. En muchos partos, en promedio, salen 1.7 crías por parto
  2. Cada cabra pare 1.7 crías
  3. La mayoría de las cabras pare 2 crías

Ninguna cabra pare 1.7 crías: el valor esperado es el promedio de largo plazo. Con 60 partos se esperan unos 60 × 1.7 = 102 cabritos, aunque el total real puede variar.

4. Dos cultivos tienen la misma ganancia esperada, pero uno tiene una desviación estándar mucho mayor. ¿Qué significa?

  1. Es más seguro
  2. Sus resultados se alejan más del promedio: tiene más riesgo
  3. Dará más dinero

La desviación estándar mide cuánto se alejan los resultados del valor esperado. Con la misma ganancia promedio, el de mayor σ tiene años mucho mejores y mucho peores.

5. Lo que harás

Excel del Tema T05 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T05_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

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Distribución y valor esperado a mano (hoja 1_Distribucion_a_mano)

Caso A: crías por parto. Los 200 partos de cabra del problema de la sección 1.

Caso B: ¿maíz o sorgo? Un productor de temporal compara la ganancia por hectárea de los dos cultivos según el año.

Año Probabilidad Maíz Sorgo
Bueno 0.5 $30 000 $18 000
Regular 0.3 $12 000 $12 000
Malo 0.2 −$20 000 $2 000

Para qué te sirve hacerlo a mano. Con tres valores se ve cada multiplicación x · p(x) y cada distancia al promedio. En Excel harás lo mismo con más valores y fórmulas.

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Caso A. Calcula p(x) con 2 decimales, comprueba que suman 1, y completa las columnas x · p(x) y (x − μ)² · p(x).
  3. Con esa tabla calcula E(X), la varianza, la desviación estándar, P(X ≥ 2) y los cabritos esperados de 60 cabras.
  4. Caso B. Calcula la ganancia esperada de cada cultivo y la probabilidad de perder dinero con cada uno.
  5. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

Las p(x) suman 1.00. El valor esperado de las crías debe quedar entre 1 y 3. En el Caso B, una pérdida se escribe con signo menos al multiplicar.

Distribución y valor esperado en Excel (hoja 2_Valor_esperado_Excel)

El caso: una granja porcina registró los lechones destetados de sus últimas 120 camadas. Con esos registros armarás la distribución de probabilidad, calcularás cuántos lechones esperar por camada y cuántos de 40 cerdas que van a parir.

Para qué: con fórmulas, la tabla se arma sola a partir de los datos. Si llegan más registros, sólo se agregan y todo se recalcula.

  1. Paso 1 · Frecuencias. La fila de x = 7 ya tiene la fórmula de modelo =CONTAR.SI($B$7:$B$126,D8): cuenta cuántas camadas destetaron 7 lechones. Cópiala hacia abajo hasta x = 12 y suma el total.
  2. Paso 2 · Distribución. Completa p(x) = frecuencia ÷ total (=E8/$E$14), x · p(x) (=D8*F8) y la acumulada P(X ≤ x) con la fórmula de modelo =SUMA($F$8:F8). Suma las columnas: la suma de p(x) debe dar 1 y la de x · p(x) es el valor esperado.
  3. Paso 3 · Variación. Completa (x − μ)² · p(x) con =(D8-$G$14)^2*F8 y súmala: es la varianza. La desviación estándar es =RAIZ(H14).
  4. Paso 4 · Resultados. Completa P(X ≥ 10), P(X ≤ 8), los lechones esperados de 40 cerdas y el PROMEDIO de los 120 datos.
  5. Paso 5 · Responde las Preguntas 3 a 6.
Si Excel no reconoce la fórmula

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés: CONTAR.SI = COUNTIF, SUMA = SUM, RAIZ = SQRT, PROMEDIO = AVERAGE. El símbolo ^2 eleva al cuadrado.

6. Antes de entregar

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