Probabilidad condicional

Tablas de doble entrada: conjunta, marginal y condicional

Tema T03 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones

Probabilidad condicional

Tablas de doble entrada: conjunta, marginal y condicional

¿Se enferman menos las vacas a las que se les aplica sellador?

  • 40 a 50 minutos
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De qué trata este tema

Muchas decisiones dependen de una comparación: ¿se enferman menos las vacas a las que se les aplica sellador? ¿tiene más plaga una variedad que otra? Para contestarlas no basta la probabilidad de todo el grupo; hace falta la probabilidad dentro de cada grupo. Eso es la probabilidad condicional: la probabilidad de un evento dado que ya se sabe que ocurrió otro. Se lee fácilmente en una tabla de doble entrada.

Necesitas T01 (P = casos ÷ total) y T02 («y», «o», tabla de doble entrada)

Este tema T03 · Probabilidad condicional con tablas de doble entrada

Sigue T04 · Independencia y diagrama de árbol

Al terminar el tema podrás:

  1. Leer una tabla de doble entrada con sus totales por fila, por columna y general.
  2. Distinguir probabilidad conjunta, marginal y condicional, y saber qué total va abajo en cada una.
  3. Calcular P(A | B) y explicar por qué no es lo mismo que P(B | A).
  4. Usar probabilidades condicionales para comparar grupos y apoyar una decisión.

Palabras clave tabla de doble entrada total marginal probabilidad conjunta probabilidad marginal probabilidad condicional P(A | B) «dado que»

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el Excel: ahí está el problema, para qué sirve el tema y cómo se hace cada cálculo, con un ejemplo resuelto. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel (1_Condicional_a_mano y 2_Condicional_Excel). Puedes hacer este tema en clase o de tarea: todo lo que necesitas está aquí. Si te atoras, vuelve al ejemplo resuelto de la sección 4.

1. Un problema para empezar: ¿sirve el sellador de pezones?

En un establo de 200 vacas, a 120 se les aplicó sellador de pezones después de la ordeña y a 80 no. En el semestre, 32 vacas tuvieron mastitis clínica. La probabilidad de mastitis en el hato es 32 ÷ 200 = 0.16. Pero esa cifra no contesta lo que el veterinario quiere saber: ¿se enferman menos las vacas con sellador?

Para contestarlo hay que separar: de las 120 con sellador, 12 tuvieron mastitis (0.10); de las 80 sin sellador, 20 (0.25). Entre las vacas sin sellador la mastitis fue dos veces y media más frecuente. Esas dos cifras, 0.10 y 0.25, son probabilidades condicionales.

2. Por qué no basta con lo que ya sabes

En T01 y T02 todas las probabilidades se dividían entre el total de unidades (200 vacas, 400 mangos). La probabilidad condicional cambia eso: cuando dices «dado que no se aplicó sellador», ya sabes que la vaca es una de las 80, y el total para dividir pasa a ser 80, no 200. Elegir el total equivocado es el error más común de este tema, y puede cambiar por completo una conclusión.

3. Dónde vas a usar esto

  • Sanidad animal. Comparar la enfermedad entre vacunados y no vacunados, o entre corrales.
  • Sanidad vegetal. Comparar la plaga entre variedades, fechas de siembra o manejos.
  • Diagnóstico. Qué tan probable es que un animal esté enfermo dado que la prueba salió positiva.
  • Calidad. Probabilidad de rechazo dado el proveedor o el turno del empaque.
  • Experimentos (Unidad III). Toda comparación de tratamientos empieza por «¿qué pasó dentro de cada tratamiento?».

4. La tabla de doble entrada y los tres tipos de probabilidad

4.1 La tabla de doble entrada

Cruza dos variables cualitativas: una en las filas (aquí, el manejo) y otra en las columnas (el resultado). Cada celda cuenta las unidades que cumplen las dos cosas; los totales marginales están en la última fila y la última columna.

Con mastitis Sin mastitis Total
Con sellador 12 108 120
Sin sellador 20 60 80
Total 32 168 200

4.2 Conjunta, marginal y condicional

Las tres se calculan con la misma tabla. Lo único que cambia es qué total va abajo:

Tipo Pregunta Cálculo Resultado
Conjunta ¿Qué probabilidad hay de que una vaca no tenga sellador y tenga mastitis? celda ÷ total general = 20 ÷ 200 0.10
Marginal ¿Qué probabilidad hay de que una vaca tenga mastitis? total de la columna ÷ total general = 32 ÷ 200 0.16
Condicional Si una vaca no tiene sellador, ¿qué probabilidad hay de que tenga mastitis? celda ÷ total de su fila = 20 ÷ 80 0.25

4.3 La probabilidad condicional

Se escribe P(A | B) y se lee «probabilidad de A dado B». La barra vertical quiere decir «sabiendo que ocurrió». Al saber que ocurrió B, el universo se reduce a las unidades de B:

P(A | B) = P(A y B) ÷ P(B) = número de unidades con A y B ÷ número de unidades con B

Lo que va después de la barra es lo que ya se sabe; su total va abajo. P(mastitis | sin sellador) = 20 ÷ 80 = 0.25.

4.4 P(A | B) no es lo mismo que P(B | A)

Cambiar el orden cambia la pregunta y el total:

Se escribe Pregunta Cálculo Resultado
P(mastitis | sin sellador) De las vacas sin sellador, ¿qué parte tuvo mastitis? 20 ÷ 80 0.25
P(sin sellador | mastitis) De las vacas con mastitis, ¿qué parte no tenía sellador? 20 ÷ 32 0.625

Las dos son correctas, pero dicen cosas distintas. «El 62.5 % de las vacas con mastitis no tenía sellador» no quiere decir que «el 62.5 % de las vacas sin sellador se enferma»: esa cifra es 25 %. Antes de calcular, pregúntate siempre: ¿de qué grupo estoy hablando? Ese grupo da el total.

Prueba ¿Qué total va abajo? Becerros vacunados y sin vacunar contra neumonía (no es el caso del Excel). Elige qué quieres saber y qué ya sabes: la tabla marca el grupo y el total que se usan.

4.5 Ejemplo resuelto: comparar con condicionales

Con la tabla del sellador, el veterinario quiere decidir si recomienda aplicarlo a todo el hato.

  1. Pregunta de decisión: ¿la mastitis es menos probable con sellador? Hay que comparar P(mastitis | con sellador) contra P(mastitis | sin sellador).
  2. Con sellador: 12 ÷ 120 = 0.10. Sin sellador: 20 ÷ 80 = 0.25.
  3. Comparar: 0.25 ÷ 0.10 = 2.5. Sin sellador la mastitis fue 2.5 veces más frecuente.
  4. No comparar conteos: 12 contra 20 no sirve, porque los grupos son de distinto tamaño (120 y 80). Es la misma regla de la Unidad I: se comparan proporciones.

Cómo se comunica: «De las vacas con sellador, 10 % tuvo mastitis (12 de 120); de las vacas sin sellador, 25 % (20 de 80)».

4.6 Lo que se gana y lo que se pierde

La probabilidad condicional permite comparar grupos de cualquier tamaño y dice qué tan distinto le va a cada uno. Pero no prueba la causa: si las vacas sin sellador estaban en un corral con más lodo, parte de la diferencia podría ser por el corral. Para atribuir la diferencia al sellador hace falta un experimento con grupos asignados al azar, que es el tema de la Unidad III. En T04 verás qué pasa cuando la condición no cambia nada: eventos independientes.

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. De 80 vacas con sellador, 8 tuvieron mastitis; de 120 sin sellador, 30. ¿Cuánto vale P(mastitis | sin sellador)?

  1. 30 ÷ 200
  2. 30 ÷ 120
  3. 30 ÷ 38

«Dado que no tiene sellador» reduce el grupo a las 120 vacas sin sellador: 30 ÷ 120 = 0.25. 30 ÷ 200 es la conjunta y 30 ÷ 38 es P(sin sellador | mastitis).

2. En P(A | B), ¿qué total va abajo?

  1. El total general
  2. El total del grupo B
  3. El total del grupo A

Lo que va después de la barra es lo que ya se sabe: el grupo B. Su total es el denominador.

3. El 70 % de los árboles con plaga son de la variedad X. ¿Quiere decir que el 70 % de los árboles X tiene plaga?

  1. Sí, es lo mismo
  2. No: es P(X | plaga), no P(plaga | X)
  3. Sólo si hay más árboles X

El 70 % habla de los árboles con plaga. Para saber qué parte de los X tiene plaga hay que dividir entre el total de árboles X, que puede dar algo muy distinto.

4. Variedad A: 10 de 50 plantas enfermas. Variedad B: 15 de 150. ¿Cuál tiene mayor riesgo?

  1. B, porque tiene más enfermas
  2. A: 0.20 contra 0.10
  3. Están igual

Los grupos son de distinto tamaño, así que se comparan condicionales: P(enferma | A) = 0.20 y P(enferma | B) = 0.10. En A el riesgo es el doble.

5. Lo que harás

Excel del Tema T03 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T03_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

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Probabilidad condicional a mano (hoja 1_Condicional_a_mano)

Caso: destete y diarrea en lechones. En una granja se destetaron 150 lechones: unos a los 21 días (destete temprano) y otros a los 28 (tradicional). Se registró cuáles tuvieron diarrea la semana siguiente. El encargado quiere saber si el destete temprano aumenta el riesgo.

Para qué te sirve hacerlo a mano. Con una tabla pequeña ves exactamente qué total se usa en cada tipo de probabilidad, que es donde está el error más frecuente.

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Completa los totales de la tabla (por fila, por columna y general).
  3. Calcula las seis probabilidades que se piden. Antes de dividir, subraya en la tabla el total que corresponde.
  4. Revisa las tres afirmaciones: elige Sí o No y, si no es correcta, escribe el error.
  5. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

El total general es 150. Una probabilidad condicional usa el total de una fila o de una columna, nunca el total general.

Tabla de doble entrada en Excel (hoja 2_Condicional_Excel)

Caso: barrenador del nogal. En una huerta se revisaron 100 árboles de dos variedades, Western y Wichita, y se anotó si tenían daño de barrenador. El técnico tiene tiempo para monitorear una sola variedad cada semana: ¿cuál conviene vigilar primero?

Para qué: con =CONTAR.SI.CONJUNTO Excel arma la tabla de doble entrada desde la base. Una sola fórmula, bien escrita con el signo $, se copia a toda la tabla.

  1. Paso 1 · Armar la tabla. La celda de Western con barrenador ya tiene la fórmula de modelo: =CONTAR.SI.CONJUNTO($B$7:$B$106,$E8,$C$7:$C$106,F$7). Cópiala a las otras tres celdas y completa los totales con =SUMA().
  2. Paso 2 · Probabilidades. Calcula la marginal, las dos condicionales por variedad y la condicional al revés, como indica la tabla.
  3. Paso 3 · Responde las Preguntas 3 a 5.
Para qué sirve el $ a medias

En $E8 el $ congela la columna E (donde está la variedad) pero deja libre la fila; en F$7 congela la fila 7 (donde está Sí o No) pero deja libre la columna. Así, al copiar la fórmula a la derecha y hacia abajo, cada celda toma su propia variedad y su propio resultado.

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés la función se llama COUNTIFS.

6. Antes de entregar

Marca cada punto conforme lo revises. Tus marcas se guardan sólo en este navegador.