Independencia y diagrama de árbol

Regla de la multiplicación, eventos en secuencia y «al menos uno»

Tema T04 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones

Independencia y diagrama de árbol

Regla de la multiplicación, eventos en secuencia y «al menos uno»

¿Qué probabilidad hay de que las tres vacas queden gestantes?

  • 40 a 50 minutos
  • Lectura + Excel de 2 hojas
  • Individual
Descargar el Excel Ir a lo que harás

De qué trata este tema

Hasta ahora combinaste probabilidades con «no» (complemento), con «o» (suma) y con «dado que» (condicional). Falta el «y» cuando las cosas pasan una después de otra: que la primera vaca quede gestante y la segunda también; que una trampa falle y la otra también. Para eso se multiplica, y la forma de multiplicar depende de si los eventos son independientes: si lo que pasa en uno no cambia la probabilidad del otro. Un diagrama de árbol ordena todos los casos.

Necesitas T02 (complemento y suma) y T03 (probabilidad condicional)

Este tema T04 · Independencia y diagrama de árbol

Sigue T05 · Variable aleatoria discreta y valor esperado

Al terminar el tema podrás:

  1. Decidir si dos eventos son independientes comparando P(A | B) con P(A).
  2. Calcular P(A y B) con la regla de la multiplicación, para eventos independientes y dependientes (sin reemplazo).
  3. Construir un diagrama de árbol y obtener de él la probabilidad de «exactamente», «todos» y «ninguno».
  4. Calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno con el complemento.

Palabras clave eventos independientes eventos dependientes regla de la multiplicación sin reemplazo diagrama de árbol rama «al menos uno»

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el Excel: ahí está el problema, para qué sirve el tema y cómo se hace cada cálculo, con un ejemplo resuelto. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel (1_Arbol_a_mano y 2_Multiplicacion_Excel). Puedes hacer este tema en clase o de tarea: todo lo que necesitas está aquí. Si te atoras, vuelve al ejemplo resuelto de la sección 4.

1. Un problema para empezar: tres vacas inseminadas

En un rancho se inseminaron 3 vacas el mismo día. Con ese semen y ese técnico, la probabilidad de que una vaca quede gestante es 0.60. El dueño pregunta dos cosas: ¿qué probabilidad hay de que las tres queden gestantes? ¿Y de que al menos una quede gestante?

Las respuestas intuitivas suelen ser «0.60 × 3 = 1.80» (imposible: pasa de 1) o «0.60, igual que una». Las correctas son 0.216 (multiplicar 0.6 × 0.6 × 0.6) y 0.936 (1 menos la probabilidad de que ninguna quede gestante, 1 − 0.4 × 0.4 × 0.4). Es decir: es raro que las tres queden, pero casi seguro que al menos una sí.

2. Por qué no basta con lo que ya sabes

La regla de la suma de T02 sirve para «o», no para «y». Y en T03 viste que, a veces, saber que ocurrió algo cambia la probabilidad de lo otro (el destete temprano duplicaba la diarrea). Este tema junta las dos ideas: si saber B no cambia nada, los eventos son independientes y se multiplican las probabilidades tal cual; si sí cambia, hay que multiplicar por la probabilidad condicional.

3. Dónde vas a usar esto

  • Reproducción. Probabilidad de que un grupo de vacas o cerdas quede gestante, o de que una vaca necesite más de un servicio.
  • Siembra. Si se ponen 2 semillas por golpe, probabilidad de que al menos una germine.
  • Monitoreo de plagas. Cuántas trampas hacen falta para que al menos una detecte la plaga.
  • Control de calidad. Revisar frutos de una caja sin regresarlos: la probabilidad cambia con cada fruto sacado.
  • Siguiente tema. El árbol de 3 vacas es la base de la distribución binomial (T06), que hace este cálculo para cualquier número de animales.

4. Multiplicar probabilidades

4.1 Eventos independientes

Dos eventos son independientes si saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro. Con una tabla de doble entrada se comprueba comparando la condicional con la marginal:

A y B son independientes si P(A | B) = P(A)

Si la probabilidad de A es la misma dentro del grupo B que en todo el conjunto, saber B no aporta nada.

Caso P(evento) P(evento | grupo) ¿Independientes?
Diarrea y sexo del lechón 20 de 100 = 0.20 Machos: 10 de 50 = 0.20 Sí: el sexo no cambia la probabilidad
Diarrea y destete temprano (T03) 33 de 150 = 0.22 Temprano: 21 de 70 = 0.30 No: el destete la cambia

Con datos reales casi nunca salen exactamente iguales; si la diferencia es muy pequeña, se consideran prácticamente independientes. En la Unidad III aprenderás a decidir cuándo una diferencia es «pequeña».

4.2 Regla de la multiplicación para eventos independientes

Si A y B son independientes: P(A y B) = P(A) × P(B)

Vale para más de dos: P(A y B y C) = P(A) × P(B) × P(C). Con 3 vacas: P(las tres gestantes) = 0.6 × 0.6 × 0.6 = 0.216.

Fíjate que al multiplicar números menores que 1 el resultado es más chico: que ocurran varias cosas a la vez siempre es menos probable que una sola.

4.3 Eventos dependientes: sacar sin regresar

Si lo que pasa primero sí cambia lo que sigue, se multiplica por la probabilidad condicional:

P(A y B) = P(A) × P(B | A)

Es la misma regla de 4.2, sólo que el segundo factor ya toma en cuenta lo que pasó primero.

Ejemplo: una caja tiene 20 mangos y 4 están dañados. Se sacan dos, uno tras otro, sin regresar el primero. P(primero dañado) = 4/20. Si el primero salió dañado, quedan 19 mangos y 3 dañados: P(segundo dañado | primero dañado) = 3/19. Entonces P(los dos dañados) = 4/20 × 3/19 = 12/380 = 0.032. Si se regresara el primer mango a la caja, sería 4/20 × 4/20 = 0.04.

4.4 El diagrama de árbol

Cuando hay varios pasos, un árbol muestra todos los casos. Cada paso abre ramas con sus probabilidades (que suman 1); la probabilidad de un camino completo es el producto de sus ramas, y la de un evento es la suma de los caminos que lo cumplen. Con dos vacas (G = gestante, V = vacía, p = 0.60):

Vaca 1 Vaca 2 Camino Probabilidad del camino
G (0.6) G (0.6) GG 0.6 × 0.6 = 0.36
G (0.6) V (0.4) GV 0.6 × 0.4 = 0.24
V (0.4) G (0.6) VG 0.4 × 0.6 = 0.24
V (0.4) V (0.4) VV 0.4 × 0.4 = 0.16
Total 1.00

«Exactamente una gestante» son dos caminos (GV y VG): 0.24 + 0.24 = 0.48. Los caminos se suman porque son excluyentes (T02): no pueden pasar los dos a la vez. Regla para recordar: a lo largo de un camino se multiplica; entre caminos se suma.

Prueba Arma el árbol Cambia la probabilidad de que una cerda quede gestante y el número de cerdas (no son los valores del Excel). Elige un evento: se marcan los caminos que lo cumplen y se suman.

4.5 «Al menos uno»: usar el complemento

«Al menos una vaca gestante» incluye muchos caminos (con 3 vacas, siete de ocho). Es más rápido usar el complemento de T02: lo contrario de «al menos una» es «ninguna».

P(al menos uno) = 1 − P(ninguno)

Con 3 vacas: P(ninguna gestante) = 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064, así que P(al menos una) = 1 − 0.064 = 0.936.

4.6 Ejemplo resuelto: dos semillas por golpe

Un productor siembra 2 semillas de calabaza por golpe. La probabilidad de que una semilla germine es 0.86, y lo que pase con una no cambia lo que pase con la otra.

  1. ¿Independientes? Sí, por el enunciado: se puede multiplicar directamente.
  2. Las dos germinan: 0.86 × 0.86 = 0.7396.
  3. Exactamente una: dos caminos, germina-no (0.86 × 0.14) y no-germina (0.14 × 0.86): 0.1204 + 0.1204 = 0.2408.
  4. Ninguna: 0.14 × 0.14 = 0.0196. Comprobación: 0.7396 + 0.2408 + 0.0196 = 1.
  5. Al menos una: 1 − 0.0196 = 0.9804.

Cómo se comunica: «Con dos semillas por golpe, en 98 de cada 100 golpes nace al menos una planta, contra 86 de cada 100 con una sola semilla». La decisión de poner una o dos semillas depende de si esos 12 golpes de más pagan la semilla extra.

4.7 Lo que se gana y lo que se pierde

Con la regla de la multiplicación y el árbol se calcula la probabilidad de cualquier combinación sin tener que observarla. A cambio, la independencia es un supuesto que hay que revisar: si las tres vacas comparten un lote de semen de mala calidad o el mismo día de calor, lo que le pase a una sí dice algo de las otras, y multiplicar 0.6 × 0.6 × 0.6 ya no es correcto. En T06 verás que la distribución binomial es justamente este árbol, para cualquier número de animales, con el supuesto de independencia.

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Cada vaca queda gestante con probabilidad 0.5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos vacas queden gestantes?

  1. 1.0
  2. 0.25
  3. 0.5

Para «la primera y la segunda» se multiplica: 0.5 × 0.5 = 0.25. Sumar daría 1.0, como si fuera seguro.

2. Cada trampa detecta la plaga con probabilidad 0.2. ¿Qué probabilidad hay de que al menos una de 3 trampas la detecte?

  1. 0.6
  2. 0.488
  3. 0.008

Lo contrario de «al menos una» es «ninguna»: 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.512. Entonces 1 − 0.512 = 0.488. 0.6 suma las tres; 0.008 es que las tres detecten.

3. En un diagrama de árbol, ¿cuándo se suman probabilidades?

  1. A lo largo de un camino
  2. Entre caminos distintos que cumplen el evento
  3. Nunca

A lo largo de un camino se multiplica (pasa una cosa y luego la otra). Los caminos distintos son excluyentes, así que los que cumplen el evento se suman.

4. De 100 lechones, P(diarrea) = 0.20 y P(diarrea | macho) = 0.20. Entonces…

  1. Diarrea y sexo son independientes
  2. Los machos se enferman más
  3. Falta saber la causa

Saber que es macho no cambia la probabilidad de diarrea: P(A | B) = P(A). Esa es la definición de independencia.

5. Lo que harás

Excel del Tema T04 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T04_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

Descargar

Independencia y árbol a mano (hoja 1_Arbol_a_mano)

Caso A: ¿son independientes? Dos tablas: sexo del lechón y diarrea (100 lechones); edad de la vaca y parto difícil (200 vacas).

Caso B: árbol de dos vacas inseminadas, con probabilidad de gestación de 0.60 cada una.

Caso C: una caja de 20 mangos con 4 dañados. Se sacan dos mangos sin regresarlos.

Para qué te sirve hacerlo a mano. El árbol de dos vacas tiene sólo 4 caminos: ahí se ve por qué se multiplica a lo largo y se suma entre caminos. En Excel harás el de tres vacas.

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Caso A. Para cada tabla calcula P(evento) y P(evento | grupo) y decide si son independientes.
  3. Caso B. Completa la probabilidad de cada camino y las tres probabilidades que se piden.
  4. Caso C. Calcula las probabilidades sin reemplazo con 3 decimales y compara con lo que darían con reemplazo.
  5. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

Los cuatro caminos del Caso B deben sumar 1.00. Ninguna probabilidad de «y» puede ser mayor que la de cada evento por separado.

Multiplicación y «al menos uno» en Excel (hoja 2_Multiplicacion_Excel)

Caso 1: trampas para una plaga. Si la plaga está presente, cada trampa la detecta con probabilidad 0.30, y las trampas funcionan de forma independiente. ¿Cuántas trampas hacen falta para que la probabilidad de detectarla con al menos una sea 0.90 o más?

Caso 2: árbol de tres vacas con probabilidad de gestación 0.60: las 8 ramas y la probabilidad de 0, 1, 2 o 3 vacas gestantes.

Para qué: en Excel la probabilidad p está en una sola celda: si la cambias, todo se recalcula. Así puedes ver cómo cambia la decisión con otra trampa u otro semen.

  1. Paso 1 · Trampas. La fila de 1 trampa ya tiene las fórmulas de modelo: =(1-$C$6)^A9 para «ninguna detecta», =1-B9 para «al menos una» y =SI(C9>=0.9,"Sí","No"). Cópialas hasta 10 trampas.
  2. Paso 2 · Árbol de tres vacas. La primera rama ya tiene =SI(G9="G",$M$6,1-$M$6) para la probabilidad de cada vaca, =J9*K9*L9 para la rama y =CONTAR.SI(G9:I9,"G") para contar gestantes. Cópialas a las otras 7 ramas.
  3. Paso 3 · Resumen. Suma las ramas según cuántas vacas quedan gestantes con =SUMAR.SI($N$9:$N$16,F20,$M$9:$M$16). El total debe dar 1.
  4. Paso 4 · Responde las Preguntas 3 a 6. Para la Pregunta 6 cambia p y después regrésala a 0.60.
Si Excel no reconoce la fórmula

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés: SI = IF, CONTAR.SI = COUNTIF, SUMAR.SI = SUMIF. El símbolo ^ eleva a una potencia: 0.7^3 = 0.7 × 0.7 × 0.7.

6. Antes de entregar

Marca cada punto conforme lo revises. Tus marcas se guardan sólo en este navegador.