Del conteo a la probabilidad

Experimento, espacio muestral, evento y probabilidad

Tema T01 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones

Del conteo a la probabilidad

Experimento, espacio muestral, evento y probabilidad

¿Cuánta semilla sembrar si no todas germinan?

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De qué trata este tema

En la Unidad I contaste lo que ya pasó: cuántas plantas tenían daño, qué porcentaje de peces tenía lesiones. En la Unidad II vas a usar esos mismos conteos para hablar de lo que puede pasar: qué tan probable es que una semilla germine, que una vaca quede gestante o que una trampa capture la plaga. Ese número, que va de 0 a 1, se llama probabilidad, y es la base de todos los temas de esta unidad.

Necesitas Unidad I: frecuencia relativa y porcentaje (tablas de frecuencias)

Este tema T01 · Del conteo a la probabilidad

Sigue T02 · Reglas del complemento y de la suma

Al terminar el tema podrás:

  1. Reconocer en un problema el experimento, sus resultados posibles (espacio muestral) y el evento que interesa.
  2. Calcular una probabilidad contando casos cuando todos los resultados son igual de probables.
  3. Estimar una probabilidad con la frecuencia relativa de muchos registros, y explicar por qué más repeticiones dan una estimación más confiable.
  4. Escribir una probabilidad como decimal, porcentaje y «de cada…», y usarla para una decisión.

Palabras clave experimento aleatorio resultado espacio muestral (S) evento probabilidad casos favorables frecuencia relativa ley de los grandes números

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el Excel: ahí está el problema, para qué sirve el tema y cómo se hace cada cálculo, con un ejemplo resuelto. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel (1_Eventos_a_mano y 2_Probabilidad_Excel). Puedes hacer este tema en clase o de tarea: todo lo que necesitas está aquí. Si te atoras, vuelve al ejemplo resuelto de la sección 4.

1. Un problema para empezar: ¿cuánta semilla sembrar?

Un productor quiere establecer 150 000 plantas de sorgo por hectárea. Si cada semilla que siembra germinara, compraría 150 000 semillas por hectárea y listo. Pero no todas germinan, y no se sabe de antemano cuáles van a fallar: eso es lo que hace al resultado aleatorio.

Lo que sí se puede saber es qué proporción suele germinar. Para eso se hace una prueba de germinación: se ponen a germinar varias repeticiones de 50 semillas y se cuentan las que nacen. Si de 200 semillas germinan 172, la probabilidad de que una semilla germine es alrededor de 172 ÷ 200 = 0.86, y para tener 150 000 plantas hay que sembrar unas 150 000 ÷ 0.86 ≈ 174 419 semillas. Ese cálculo es lo que harás en este tema.

2. Por qué no basta con lo que ya sabes

En la Unidad I la frecuencia relativa describía un grupo que ya observaste: «172 de las 200 semillas germinaron». La probabilidad usa el mismo número, pero mirando hacia adelante: «una semilla de este lote tiene una probabilidad de 0.86 de germinar». El cambio parece pequeño, pero es lo que permite planear: comprar semilla, calcular cuántos becerros se van a destetar o cuántas cajas de primera saldrán del empaque.

Para usar la probabilidad sin equivocarte necesitas tres ideas nuevas: definir bien el experimento y sus resultados, saber cuándo se puede contar casos y cuándo hay que estimar con registros, y entender que una estimación con pocos datos cambia mucho de una muestra a otra.

3. Dónde vas a usar esto

  • Semillas. La probabilidad de germinación decide la densidad de siembra y si un lote se puede vender (la norma suele pedir 85 % o más).
  • Ganadería. La probabilidad de que una vaca quede gestante con una inseminación define cuántas pajillas y cuántos servicios hay que planear.
  • Acuicultura y avicultura. La supervivencia de alevines o la eclosión de huevos dicen cuántos animales sembrar o incubar para llegar a una meta.
  • Sanidad. La probabilidad de que una planta o un animal esté enfermo es la base para decidir cuántos revisar y cuándo aplicar control.
  • Riesgo climático. Los seguros agrícolas usan la probabilidad de helada o de sequía calculada con muchos años de registros.

En todos los casos se repite el mismo razonamiento: no se sabe qué va a pasar con cada unidad, pero sí qué tan seguido pasa. Esa frecuencia es la probabilidad.

4. De los conteos a la probabilidad

4.1 Experimento, resultados, espacio muestral y evento

Un experimento aleatorio es cualquier proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque sí se conocen los resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S). Un evento es un grupo de resultados que te interesa; se nombra con una letra mayúscula.

Experimento Espacio muestral (S) Un evento
Sembrar una semilla {germina, no germina} G = la semilla germina
Revisar una vaca a los 45 días de inseminada {gestante, vacía} V = la vaca está vacía
Clasificar un mango en el empaque {primera, segunda, tercera, rechazo} E = sale de exportación (primera o segunda)
Anotar el sexo de las crías de dos vacas {HH, HM, MH, MM} A = al menos una hembra = {HH, HM, MH}

Fíjate en el último renglón: HM y MH son resultados distintos, porque en HM la hembra es de la primera vaca y en MH de la segunda. Si los juntas en «una de cada uno», ese resultado sale el doble de veces que HH. Para contar casos, cada resultado del espacio muestral debe ser uno solo.

4.2 Probabilidad contando casos

Cuando todos los resultados tienen la misma oportunidad de salir (un sorteo, una cría que puede ser hembra o macho con igual probabilidad), la probabilidad de un evento se obtiene contando:

P(A) = casos favorables al evento A ÷ casos posibles

Sólo vale si todos los resultados son igual de probables. En una camada de 10 lechones con 4 hembras, si se elige uno al azar para pesarlo, P(hembra) = 4 ÷ 10 = 0.4.

Con las dos vacas: hay 4 resultados posibles igual de probables. El evento «al menos una hembra» tiene 3 (HH, HM, MH), así que P(A) = 3 ÷ 4 = 0.75.

4.3 Probabilidad estimada con registros

Casi nunca los resultados son igual de probables: una semilla no tiene «mitad y mitad» de germinar. Entonces la probabilidad se estima con lo que pasó en muchas repeticiones, y aquí reaparece la frecuencia relativa de la Unidad I:

P(A) ≈ veces que ocurrió A ÷ veces que se repitió el experimento

Es una estimación: otra prueba con otras semillas del mismo lote daría un número parecido, pero no idéntico.

4.4 La escala de 0 a 1

0 ≤ P(A) ≤ 1 · P(S) = 1

Una probabilidad nunca es negativa ni mayor que 1. La probabilidad de todo el espacio muestral es 1, así que las probabilidades de todos los resultados suman 1.

Probabilidad Porcentaje «De cada…» Cómo se lee
0 0 % ninguna Imposible: no puede ocurrir
0.06 6 % 6 de cada 100 Poco probable, pero pasa
0.50 50 % 1 de cada 2 Tan probable que ocurra como que no
0.86 86 % 86 de cada 100 Muy probable
1 100 % todas Seguro: siempre ocurre

Una probabilidad de 0.86 no quiere decir que «cada semilla germina un 86 %». Una semilla germina o no germina; lo que dice el 0.86 es que de cada 100 semillas, alrededor de 86 germinan.

4.5 Más repeticiones, estimación más estable

Con pocas repeticiones la frecuencia relativa brinca mucho; con muchas se va acomodando cerca de un valor fijo. A eso se le llama ley de los grandes números.

Semillas puestas a germinar Germinaron Frecuencia relativa
10 7 0.70
50 45 0.90
200 171 0.855
1 000 862 0.862

Con 10 semillas, una sola de más o de menos mueve el resultado 0.10. Con 1 000, apenas 0.001. Por eso una prueba de germinación seria usa varias repeticiones y suma todas antes de dividir: es la misma idea de la variación muestral que viste al sortear muestras en la Unidad I.

Prueba Pon a germinar más y más semillas Un lote nuevo, con una probabilidad de germinación que no conoces (no es ninguno del Excel). Agrega semillas y mira cómo la frecuencia relativa brinca al principio y después se estabiliza.

4.6 Ejemplo resuelto: frijol para 100 000 plantas por hectárea

Una prueba de germinación de frijol usó 4 repeticiones de 25 semillas. Germinaron 22, 20, 23 y 21. La meta es 100 000 plantas por hectárea.

  1. Sumar las repeticiones: 22 + 20 + 23 + 21 = 86 semillas germinadas de 4 × 25 = 100 sembradas.
  2. Estimar la probabilidad: P(germinar) ≈ 86 ÷ 100 = 0.86 (86 %).
  3. Comparar con la norma: 0.86 es mayor o igual que 0.85: el lote cumple.
  4. Semillas por hectárea: 100 000 ÷ 0.86 = 116 279. Se siembran unas 116 300 semillas por hectárea.

Cómo se comunica: «En la prueba germinaron 86 de 100 semillas; la probabilidad estimada de germinación es 0.86, así que para 100 000 plantas por hectárea se requieren unas 116 300 semillas». Fíjate que se divide entre la probabilidad: si sólo germina una parte, hay que sembrar más de lo que se quiere cosechar.

4.7 Lo que se gana y lo que se pierde

La probabilidad permite planear con un solo número y comparar lotes, razas o tratamientos. A cambio, no dice qué pasará con una unidad en particular: no sabrás cuál semilla va a fallar. Y cuando se estima con registros, depende de cuántos registros hay: con pocos, el número puede estar lejos del real. En los siguientes temas combinarás probabilidades (T02 a T04) y después las usarás para modelos completos, como la binomial (T06).

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Se anota el sexo de la cría de dos yeguas. ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral?

  1. 3: dos hembras, una y uno, dos machos
  2. 4: HH, HM, MH y MM
  3. 2: hembra o macho

Cada yegua puede tener hembra o macho, y las dos yeguas son distintas: HM (hembra de la primera) no es lo mismo que MH. Son 4 resultados igual de probables. Con «una y uno» como un solo resultado, ese caso saldría el doble que los demás.

2. En una prueba germinaron 46 de 50 semillas. La probabilidad estimada de germinación es…

  1. 0.46
  2. 0.92
  3. 46 %

P ≈ 46 ÷ 50 = 0.92. El 46 es un conteo, no un porcentaje: sería 46 % sólo si se hubieran sembrado 100 semillas.

3. La supervivencia de alevines en un estanque es 0.80. ¿Cuántos alevines sembrar para cosechar 4 000 peces?

  1. 3 200
  2. 4 800
  3. 5 000

Si sobreviven 80 de cada 100, hay que sembrar más de lo que se quiere cosechar: 4 000 ÷ 0.80 = 5 000. Multiplicar (4 000 × 0.80 = 3 200) da lo que cosecharías si sembraras 4 000.

4. Un lote dio 0.94 de germinación con 50 semillas y otro 0.88 con 400 semillas. ¿Qué estimación es más confiable?

  1. La de 50, porque es más alta
  2. La de 400 semillas
  3. Son igual de confiables

Con más repeticiones la frecuencia relativa se estabiliza (ley de los grandes números). Con 50 semillas, una sola cambia el resultado 0.02; con 400, sólo 0.0025.

5. Lo que harás

Excel del Tema T01 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T01_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

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Eventos y probabilidades a mano (hoja 1_Eventos_a_mano)

Caso A: el sexo de las crías de dos vacas. Supón que cada cría tiene la misma probabilidad de ser hembra (H) o macho (M). El espacio muestral ya está escrito: HH, HM, MH, MM.

Caso B: eclosión de huevos. Una incubadora registró qué pasó con 250 huevos: eclosionó, infértil o embrión muerto.

Para qué te sirve hacerlo a mano. Con 4 resultados y 3 categorías ves claramente la diferencia entre contar casos (Caso A) y estimar con registros (Caso B).

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Caso A. Para cada evento escribe qué resultados lo forman, cuántos son y su probabilidad (casos favorables ÷ 4).
  3. Caso B. Calcula la probabilidad estimada de cada resultado (f ÷ 250) con 2 decimales y cuántos esperarías en una incubación de 1 000 huevos (probabilidad × 1 000).
  4. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

En el Caso B las tres probabilidades deben sumar 1.00 y los esperados, 1 000. En el Caso A, ninguna probabilidad puede ser mayor que 1.

Estimar la probabilidad de germinación en Excel (hoja 2_Probabilidad_Excel)

Caso: cuatro lotes de semilla de sorgo (A, B, C y D). De cada lote se pusieron a germinar 4 repeticiones de 50 semillas. La empresa sólo vende lotes con germinación de 85 % o más, y el productor quiere 150 000 plantas por hectárea.

Para qué: es el problema de la sección 1. Excel hace las sumas y divisiones de los cuatro lotes a la vez, y con =SI() decide cuáles cumplen la norma.

  1. Paso 1 · Probabilidad por lote. La fila del lote A ya tiene las fórmulas de modelo: =SUMA(B8:E8) para las germinadas, =F8/G8 para la probabilidad y =SI(H8>=0.85,"Sí","No") para la norma. Cópialas a los lotes B, C y D.
  2. Paso 2 · Semillas por hectárea. En la columna J calcula 150 000 ÷ probabilidad, sólo para los lotes que cumplen (en el lote A ya está: =$J$5/H8).
  3. Paso 3 · Cada repetición sola. En la tabla de abajo calcula la probabilidad que darían las repeticiones del lote B si se tomaran por separado (germinadas ÷ 50).
  4. Paso 4 · Responde las Preguntas 3 a 6.
Si Excel no reconoce la fórmula

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ): =SI(H8>=0.85;"Sí";"No"). En Excel en inglés las funciones se llaman SUM e IF.

6. Antes de entregar

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