Distribución binomial

Cuántos éxitos esperar en n ensayos independientes, sin dibujar el árbol

Tema T06 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones

Distribución binomial

Cuántos éxitos esperar en n ensayos independientes, sin dibujar el árbol

Si prendieron 15 de 20 plántulas, ¿exageró el vivero?

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De qué trata este tema

En T04 dibujaste el árbol de tres vacas y sumaste los caminos con 0, 1, 2 o 3 gestantes. Con 20 plántulas ese árbol tendría más de un millón de caminos. La distribución binomial hace ese mismo cálculo con una fórmula (y en Excel, con una función) para cualquier número de ensayos, siempre que cada ensayo tenga dos resultados posibles, la misma probabilidad de éxito y no dependa de los demás. Es la distribución de las preguntas del tipo «de n, ¿cuántos?»: de 20 plántulas, cuántas prenden; de 10 huevos, cuántos eclosionan.

Necesitas T04 (árbol y regla de la multiplicación) y T05 (distribución y valor esperado)

Este tema T06 · Distribución binomial

Sigue T07 · Distribución de Poisson

Al terminar el tema podrás:

  1. Reconocer cuándo una variable es binomial revisando sus cuatro condiciones.
  2. Calcular P(X = k) con la fórmula binomial y explicar de dónde sale con el árbol.
  3. Calcular en Excel probabilidades de «exactamente», «a lo más» y «al menos» con DISTR.BINOM.N.
  4. Calcular la media y la desviación estándar de una binomial y usar la distribución para decidir si un resultado es creíble.

Palabras clave ensayo éxito y fracaso n y p distribución binomial combinaciones probabilidad acumulada media np

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el Excel: ahí está el problema, para qué sirve el tema y cómo se hace cada cálculo, con un ejemplo resuelto. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel (1_Binomial_a_mano y 2_Binomial_Excel). Puedes hacer este tema en clase o de tarea: todo lo que necesitas está aquí. Si te atoras, vuelve al ejemplo resuelto de la sección 4.

1. Un problema para empezar: ¿exageró el vivero?

Un productor compró 20 plántulas de tomate injertadas. El vivero garantiza que el 90% prende (sobrevive al trasplante). Tres semanas después sólo prendieron 15. El productor quiere reclamar; el vivero dice que «fue mala suerte».

Con 20 plántulas al 90% lo esperado son 20 × 0.90 = 18 plántulas. Que prendan 15 o menos puede pasar por azar, pero ¿qué tan seguido? Con la binomial sale P(X ≤ 15) = 0.043: si de verdad prendiera el 90%, sólo en 4 de cada 100 compras saldrían 15 o menos. Es tan poco probable que el productor tiene buenas razones para pensar que la garantía no se cumple. Esta forma de razonar es la base de las pruebas de hipótesis de la Unidad III.

2. Por qué no basta con lo que ya sabes

Con el árbol de T04 tendrías que dibujar 2²⁰ = 1 048 576 caminos y sumar los que tienen 15 éxitos o menos. Con la distribución de T05 necesitarías registros de muchísimas compras para estimar cada probabilidad. La binomial evita las dos cosas: con sólo n (cuántos ensayos) y p (probabilidad de éxito en cada uno) da la distribución completa.

3. Dónde vas a usar esto

  • Germinación y prendimiento. De n semillas o plántulas, cuántas nacen o prenden.
  • Reproducción. De n vacas inseminadas, cuántas quedan gestantes; de n huevos, cuántos eclosionan.
  • Sanidad. De n animales vacunados, cuántos quedan protegidos; de n frutos revisados, cuántos traen plaga.
  • Compras y garantías. Cuántas plantas o semillas comprar para asegurar cierto número con alta probabilidad.
  • Unidad III. Decidir si un resultado observado es compatible con lo que se afirma (prueba de una proporción).

4. La distribución binomial

4.1 Cuándo una variable es binomial

Una variable X es binomial cuando cuenta los éxitos en una serie de ensayos que cumplen cuatro condiciones:

Condición Qué quiere decir Cómo se rompe
1. n fijo Se sabe de antemano cuántos ensayos hay. Contar garrapatas en un becerro: no hay un «de cuántos» (eso es T07).
2. Dos resultados Cada ensayo es éxito o fracaso (prende o no, gestante o vacía). Medir el peso: hay muchos valores posibles.
3. p constante La probabilidad de éxito es la misma en todos los ensayos. Sacar frutos de una caja chica sin regresarlos (T04).
4. Independencia Lo que pase en un ensayo no cambia los demás. Animales del mismo corral con una enfermedad contagiosa.

«Éxito» no quiere decir algo bueno: es el resultado que se cuenta. Si se cuentan frutos dañados, el éxito es «dañado». Se escribe X ~ B(n, p): «X sigue una binomial con n ensayos y probabilidad p».

4.2 Del árbol a la fórmula

En T04, con 3 vacas y p = 0.6, había 3 caminos con exactamente 2 gestantes (GGV, GVG, VGG) y cada uno valía 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.144. Por eso P(X = 2) = 3 × 0.144 = 0.432. La fórmula binomial hace exactamente eso: número de caminos × probabilidad de un camino.

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

pᵏ: k éxitos; (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: los n − k fracasos; C(n, k): de cuántas maneras se pueden acomodar los k éxitos entre los n ensayos.

4.3 Las combinaciones C(n, k)

C(n, k) (se lee «combinaciones de n en k») cuenta los caminos del árbol que tienen k éxitos. Se calcula con factoriales, donde n! = n × (n − 1) × … × 1 y 0! = 1:

C(n, k) = n! ÷ [ k! · (n − k)! ]

C(3, 2) = 3! ÷ (2! · 1!) = 6 ÷ 2 = 3 caminos. C(4, 2) = 24 ÷ (2 · 2) = 6. C(n, 0) = C(n, n) = 1.

En Excel: =COMBINAT(4,2) da 6 (en inglés, COMBIN). No hace falta memorizar factoriales: lo importante es entender que cuenta caminos.

4.4 La binomial en Excel

La función DISTR.BINOM.N (en inglés, BINOM.DIST) hace todo el cálculo. Su último argumento decide qué devuelve:

=DISTR.BINOM.N(k, n, p, FALSO) → P(X = k) =DISTR.BINOM.N(k, n, p, VERDADERO) → P(X ≤ k)

FALSO: la probabilidad de exactamente k. VERDADERO: la acumulada, de 0 hasta k.

Lo que se pregunta Se escribe En Excel (n = 20, p = 0.9)
Exactamente 18 P(X = 18) =DISTR.BINOM.N(18,20,0.9,FALSO)
A lo más 15 (15 o menos) P(X ≤ 15) =DISTR.BINOM.N(15,20,0.9,VERDADERO)
Al menos 18 (18 o más) P(X ≥ 18) = 1 − P(X ≤ 17) =1-DISTR.BINOM.N(17,20,0.9,VERDADERO)
Menos de 15 P(X ≤ 14) =DISTR.BINOM.N(14,20,0.9,VERDADERO)
Entre 16 y 18 P(X ≤ 18) − P(X ≤ 15) =DISTR.BINOM.N(18,…)-DISTR.BINOM.N(15,…)

El error más común está en «al menos»: P(X ≥ 18) es 1 menos la acumulada hasta 17, no hasta 18, porque el 18 sí cuenta.

Prueba Explora la binomial Semillas de chile en charolas (no es el caso del Excel). Cambia cuántas semillas hay, la probabilidad de germinar y el evento: se marcan las barras que lo cumplen y se suman.

4.5 Media y desviación estándar

En T05 calculaste el valor esperado con Σ x · p(x). Para la binomial esa suma siempre da un resultado sencillo:

μ = n · p σ = √[ n · p · (1 − p) ]

Plántulas: μ = 20 × 0.9 = 18; σ = √(20 × 0.9 × 0.1) = √1.8 = 1.34.

La media es lo que se espera en promedio; la desviación estándar dice cuánto suele alejarse el resultado. Con 18 ± 1.34, ver 15 plántulas (más de dos desviaciones abajo) ya es raro.

4.6 Ejemplo resuelto: diez huevos en la incubadora

Se ponen 10 huevos fértiles en una incubadora con probabilidad de eclosión 0.85 por huevo. ¿Qué probabilidad hay de que nazcan al menos 8 pollitos?

  1. ¿Es binomial? n = 10 fijo; cada huevo eclosiona o no; p = 0.85 igual para todos; un huevo no afecta a otro. Sí: X ~ B(10, 0.85).
  2. P(X = 10) = C(10, 10) · 0.85¹⁰ · 0.15⁰ = 1 × 0.1969 × 1 = 0.1969.
  3. P(X = 9) = C(10, 9) · 0.85⁹ · 0.15¹ = 10 × 0.2316 × 0.15 = 0.3474.
  4. P(X = 8) = C(10, 8) · 0.85⁸ · 0.15² = 45 × 0.2725 × 0.0225 = 0.2759.
  5. P(X ≥ 8) = 0.2759 + 0.3474 + 0.1969 = 0.8202. En Excel: =1-DISTR.BINOM.N(7,10,0.85,VERDADERO).
  6. Media y desviación: μ = 10 × 0.85 = 8.5 pollitos; σ = √(10 × 0.85 × 0.15) = 1.13.

Cómo se comunica: «Con 10 huevos se esperan 8 o 9 pollitos (8.5 en promedio); en 82 de cada 100 tandas nacen al menos 8». Fíjate que nacer los 10 pasa sólo en 2 de cada 10 tandas, aunque cada huevo tenga 85 % de probabilidad.

4.7 Lo que se gana y lo que se pierde

Con sólo dos números (n y p) la binomial da todas las probabilidades, sin registros ni árboles. A cambio, sus cuatro condiciones son supuestos: si los animales se contagian entre sí, si la probabilidad cambia (plántulas de dos lotes distintos) o si se saca sin reemplazo de un lote chico, los resultados de la binomial no son confiables. Además, p casi nunca se conoce con exactitud: se estima con registros (T01), y un error en p cambia mucho las probabilidades de los extremos.

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. ¿Cuál de estas variables es binomial?

  1. Número de garrapatas en un becerro
  2. De 20 huevos incubados, cuántos eclosionan (p = 0.8 cada uno)
  3. Peso de 20 becerros

Los huevos cumplen las cuatro condiciones: n = 20 fijo, dos resultados, p igual para todos e independencia. Las garrapatas no tienen un «de cuántos» y el peso no tiene dos resultados.

2. Con n = 10 y p = 0.9, ¿cuánto vale la media de la binomial?

  1. 9
  2. 0.9
  3. 10

μ = n · p = 10 × 0.9 = 9. Es lo que se obtiene en promedio; en una sola tanda pueden salir 8, 9 o 10.

3. ¿Cómo se calcula P(X ≥ 8) en Excel con n = 10 y p = 0.85?

  1. =DISTR.BINOM.N(8,10,0.85,VERDADERO)
  2. =1-DISTR.BINOM.N(7,10,0.85,VERDADERO)
  3. =1-DISTR.BINOM.N(8,10,0.85,VERDADERO)

«Al menos 8» es lo contrario de «7 o menos», así que se resta la acumulada hasta 7. Restar la de 8 dejaría fuera al 8; sin restar, se calcula «8 o menos».

4. Un vivero garantiza 90 % de prendimiento y de 20 plántulas prenden 15. P(X ≤ 15) = 0.043. ¿Qué se concluye?

  1. Fue mala suerte: es posible
  2. Es poco creíble que la garantía se cumpla
  3. El prendimiento real es exactamente 75 %

Si la garantía fuera cierta, sólo en 4 de cada 100 compras prenderían 15 o menos. Que algo sea posible no lo hace probable. 15 de 20 es una estimación (0.75), no el valor exacto.

5. Lo que harás

Excel del Tema T06 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T06_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

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¿Es binomial? y fórmula a mano (hoja 1_Binomial_a_mano)

Caso A: ¿es binomial? Seis situaciones. Para cada una decide si X es binomial y, si no, qué condición falla.

Caso B: becerros vacunados. Se vacunan 4 becerros con una vacuna que protege con probabilidad 0.80. Calcula con la fórmula la probabilidad de 0, 1, 2, 3 y 4 protegidos.

Para qué te sirve hacerlo a mano. Con n = 4 se ve cada pieza de la fórmula: los caminos C(n, k), los éxitos pᵏ y los fracasos (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. En Excel la función hará lo mismo con n = 20.

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Caso A. Elige Sí o No en cada situación y escribe la condición que falla.
  3. Caso B. Completa C(4, k), pᵏ, (1 − p)⁴⁻ᵏ y P(X = k) con 4 decimales. Comprueba que las cinco probabilidades suman 1.
  4. Calcula P(X ≥ 3), la media y la desviación estándar.
  5. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

C(4, 0) = C(4, 4) = 1 y C(4, 1) = C(4, 3) = 4. Las cinco probabilidades suman 1.0000. La media debe ser 4 × 0.8 = 3.2.

Binomial en Excel (hoja 2_Binomial_Excel)

Caso 1: el reclamo al vivero. Las 20 plántulas con garantía de 90% del problema de la sección 1: la distribución completa y la probabilidad de que prendan 15 o menos.

Caso 2: ¿cuántas comprar? El productor necesita al menos 18 plántulas prendidas para llenar su invernadero. ¿Cuántas debe comprar para tenerlas con probabilidad 0.95 o más?

Para qué: n y p están en celdas: si cambias la garantía del vivero, toda la tabla se recalcula y puedes ver si el reclamo sigue teniendo sentido.

  1. Paso 1 · Distribución. La fila de k = 0 ya tiene las fórmulas de modelo =DISTR.BINOM.N(A9,$C$5,$C$6,FALSO) para P(X = k) y la misma con VERDADERO para P(X ≤ k). Cópialas hasta k = 20.
  2. Paso 2 · Probabilidades. Completa P(X = 18), P(X ≥ 18), P(X ≤ 15), la media y la desviación estándar. Usa la tabla o la función directamente.
  3. Paso 3 · ¿Cuántas comprar? Para n de 20 a 26, calcula P(X ≥ 18) con =1-DISTR.BINOM.N(17,G9,$C$6,VERDADERO) y marca con «Sí» las que llegan a 0.95.
  4. Paso 4 · Responde las Preguntas 3 a 6. Para la Pregunta 6 cambia p y después regrésala a 0.90.
Si Excel no reconoce la fórmula

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés: DISTR.BINOM.N = BINOM.DIST, COMBINAT = COMBIN, FALSO = FALSE, VERDADERO = TRUE, RAIZ = SQRT, SI = IF.

6. Antes de entregar

Marca cada punto conforme lo revises. Tus marcas se guardan sólo en este navegador.