Reglas del complemento y de la suma
«No», «o» e «y»: cómo combinar probabilidades sin contar doble
Tema T02 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones
Reglas del complemento y de la suma
«No», «o» e «y»: cómo combinar probabilidades sin contar doble
¿Cuántos mangos se rechazan si un mismo fruto puede tener dos defectos?
De qué trata este tema
En T01 calculaste la probabilidad de un evento. Pero las preguntas reales casi siempre combinan dos: «¿qué probabilidad hay de que un mango se rechace por mosca o por mancha?», «¿qué parte de los becerros no se enfermó?». Para contestarlas hay dos reglas: la del complemento (el «no») y la de la suma (el «o»). La segunda tiene una trampa que verás en detalle: no contar dos veces a quien cumple las dos condiciones.
Necesitas T01 · Del conteo a la probabilidad (P = casos ÷ total, escala de 0 a 1)
Este tema T02 · Reglas del complemento y de la suma
Sigue T03 · Probabilidad condicional con tablas de doble entrada
Al terminar el tema podrás:
- Calcular la probabilidad de que un evento no ocurra con la regla del complemento.
- Distinguir «A o B» (al menos uno) de «A y B» (los dos a la vez).
- Reconocer eventos mutuamente excluyentes y sumar sus probabilidades.
- Aplicar la regla general de la suma restando la parte que se traslapa, y detectar el error de contar doble.
Palabras clave complemento «no A» «A o B» «A y B» mutuamente excluyentes regla general de la suma traslape doble conteo
1. Un problema para empezar: ¿cuántos mangos se rechazan?
En un empaque de mango para exportación se revisaron 400 frutos. 36 tenían daño por mosca de la fruta y 60 tenían manchas de antracnosis. Cualquier fruto con uno de los dos defectos se rechaza. El gerente suma: 36 + 60 = 96 frutos rechazados, 24 %.
Pero al revisar con cuidado, 16 frutos tenían los dos defectos. Esos 16 están dentro de los 36 y dentro de los 60: el gerente los contó dos veces. En realidad se rechazaron 36 + 60 − 16 = 80 frutos, 20 %, y se exportó el 80 %. Cuatro puntos de diferencia, en un empaque que mueve miles de cajas, cambian el cálculo de cuánta fruta comprar al productor.
2. Por qué no basta con lo que ya sabes
Con T01 sabes calcular P(mosca) = 36 ÷ 400 = 0.09 y P(antracnosis) = 60 ÷ 400 = 0.15. Lo que no sabes todavía es cómo juntarlas. La tentación es sumar siempre, y a veces funciona (cuando los eventos no pueden ocurrir juntos) y a veces no (cuando se traslapan). Este tema te da la regla que sirve en los dos casos y una forma rápida de calcular «lo contrario» sin contar todo de nuevo.
3. Dónde vas a usar esto
- Empaque. Probabilidad de rechazo cuando hay varios defectos posibles; probabilidad de que una caja salga de primera o de segunda.
- Sanidad animal. Qué parte del hato tiene alguna enfermedad cuando un animal puede tener varias.
- Sanidad vegetal. Plantas con plaga o virus para decidir si se aplica manejo integrado.
- Semillas. Probabilidad de que una semilla no germine (complemento de la germinación).
- Riesgo. Probabilidad de helada o de granizo en una temporada, cuando los dos pueden ocurrir el mismo año.
4. Las reglas
4.1 Regla del complemento: el «no»
El complemento de un evento A son todos los resultados en los que A no ocurre. Como A y «no A» juntos forman todo el espacio muestral, sus probabilidades suman 1:
P(no A) = 1 − P(A)
Si P(germina) = 0.86, entonces P(no germina) = 1 − 0.86 = 0.14. Es muy útil cuando contar «no A» es más fácil que contar A, o al revés.
4.2 «A o B» y «A y B»
| Se escribe | Quiere decir | En los mangos |
|---|---|---|
| A o B | Ocurre A, ocurre B o ocurren los dos (al menos uno) | Tiene mosca, antracnosis o ambas: se rechaza |
| A y B | Ocurren los dos a la vez | Tiene mosca y antracnosis: 16 frutos |
| no A | A no ocurre | No tiene mosca: 400 − 36 = 364 frutos |
Una forma práctica de ver los cuatro grupos es una tabla de doble entrada, que usarás mucho en T03:
| Con antracnosis | Sin antracnosis | Total | |
|---|---|---|---|
| Con mosca | 16 (las dos) | 20 (sólo mosca) | 36 |
| Sin mosca | 44 (sólo antracnosis) | 320 (ninguna) | 364 |
| Total | 60 | 340 | 400 |
Se rechazan las tres celdas con algún defecto: 16 + 20 + 44 = 80. Y se exporta la celda de «ninguna»: 320, que es 400 − 80.
4.3 Eventos mutuamente excluyentes: se suman
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez. Un limón tiene un solo calibre; una vaca está gestante o vacía; un mango es de primera o de segunda, no de las dos. En ese caso no hay traslape y basta sumar:
Si A y B son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B)
Si P(primera) = 0.45 y P(segunda) = 0.35, entonces P(primera o segunda) = 0.80.
4.4 Regla general de la suma: restar lo que se traslapa
Si los eventos sí pueden ocurrir juntos, al sumar P(A) + P(B) la parte común queda contada dos veces. Se resta una vez:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
Sirve siempre. Si A y B son excluyentes, P(A y B) = 0 y queda la regla de 4.3.
Con los mangos: P(mosca o antracnosis) = 36/400 + 60/400 − 16/400 = 0.09 + 0.15 − 0.04 = 0.20. Y por el complemento, P(se exporta) = 1 − 0.20 = 0.80.
Si al sumar dos probabilidades te sale más de 1, seguro que los eventos se traslapan y te faltó restar P(A y B). Pero que salga menos de 1 no garantiza que esté bien: revisa siempre si pueden ocurrir juntos.
Prueba Cien plantas, dos problemas Cien plantas de chile (no son las del Excel). Mueve cuántas tienen plaga, cuántas virus y cuántas las dos, y mira qué pasa si sumas sin restar.
4.5 Ejemplo resuelto: mastitis y cojera en un hato
En un establo de 200 vacas, 30 tuvieron mastitis clínica en el año, 24 tuvieron cojera y 6 tuvieron las dos. ¿Qué probabilidad hay de que una vaca elegida al azar haya tenido algún problema? ¿Y ninguno?
- ¿Pueden ocurrir juntos? Sí: 6 vacas tuvieron los dos. No son excluyentes, así que se usa la regla general.
- Probabilidades por separado: P(M) = 30/200 = 0.15; P(C) = 24/200 = 0.12; P(M y C) = 6/200 = 0.03.
- Regla general: P(M o C) = 0.15 + 0.12 − 0.03 = 0.24.
- Complemento: P(ningún problema) = 1 − 0.24 = 0.76.
- Comprobación con conteos: 30 + 24 − 6 = 48 vacas con algún problema; 200 − 48 = 152 sin problema; 152/200 = 0.76.
Cómo se comunica: «El 24 % de las vacas (48 de 200) tuvo mastitis, cojera o ambas; el 76 % no tuvo ninguno de los dos problemas». Si se hubiera sumado sin restar, el informe diría 27 %: tres puntos de más por contar seis vacas dos veces.
4.6 Lo que se gana y lo que se pierde
Con estas dos reglas ya no hace falta recontar la base para cada pregunta: con P(A), P(B) y P(A y B) se calcula todo lo demás. A cambio, hay que saber cuánto se traslapan los eventos: con sólo «36 con mosca y 60 con antracnosis» no se puede saber cuántos frutos se rechazan. En T03 verás cómo leer ese traslape en una tabla y qué pasa cuando la pregunta es «¿qué probabilidad hay de A si ya sé que ocurrió B?».
¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.
1. La probabilidad de que una vaca esté gestante es 0.70. ¿Cuál es la probabilidad de que esté vacía?
- 0.70
- 0.30
- 1.70
Gestante y vacía son complementos: juntas suman 1. P(vacía) = 1 − 0.70 = 0.30.
2. De 50 becerros, 10 tienen garrapata, 8 tienen piojo y 3 tienen los dos. ¿Cuántos tienen al menos uno?
- 18
- 15
- 21
Los 3 con los dos están dentro de los 10 y dentro de los 8. Sumando sin restar se cuentan dos veces: 10 + 8 − 3 = 15.
3. ¿Cuál de estos pares de eventos es mutuamente excluyente?
- Un fruto con mosca y un fruto con mancha
- Un huevo de tamaño grande y uno de tamaño mediano
- Una vaca con mastitis y una vaca con cojera
Un huevo tiene un solo tamaño, así que «grande» y «mediano» no pueden pasar juntos. Un fruto puede tener mosca y mancha, y una vaca, mastitis y cojera.
4. Alguien calcula P(plaga o enfermedad) = 0.70 + 0.50 = 1.20. ¿Qué pasó?
- Nada: con mucha plaga puede pasar de 1
- No restó P(plaga y enfermedad)
- Debió multiplicar
Una probabilidad nunca pasa de 1. Si al sumar se pasa, los eventos se traslapan y falta restar la parte común: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B).
5. Lo que harás
Excel del Tema T02 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T02_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.
Las reglas a mano (hoja 1_Reglas_a_mano)
Caso A: calibres de limón persa. Se clasificaron 500 limones por calibre (110 es el más grande y 230 el más chico). Cada limón tiene un solo calibre.
Caso B: enfermedades de becerros. En un rancho, de 120 becerros, 18 tuvieron diarrea, 12 neumonía y 5 las dos.
Para qué te sirve hacerlo a mano. El Caso A tiene eventos excluyentes y el B no: al resolverlos uno tras otro verás cuándo se resta y cuándo no.
- Escribe tu nombre y la fecha.
- Caso A. Calcula la probabilidad de cada calibre (f ÷ 500) y después las tres probabilidades combinadas que se piden.
- Caso B. Completa primero la tabla de doble entrada (las dos, sólo diarrea, sólo neumonía, ninguna) y después las probabilidades.
- Revisa las cuatro afirmaciones: elige Sí o No y, si no es correcta, escribe el error.
- Contesta la Pregunta 1.
La tabla del Caso B debe sumar 120 becerros. P(diarrea o neumonía) + P(ninguna) debe dar 1.
Las reglas en Excel (hoja 2_Reglas_Excel)
Caso: 80 plantas de tomate en invernadero, revisadas para mosca blanca y para virus. El técnico aplica manejo integrado si la probabilidad de que una planta tenga algún problema (mosca blanca o virus) es 0.40 o más.
Para qué: con =CONTAR.SI.CONJUNTO Excel cuenta las plantas que cumplen dos condiciones a la vez, que es justo P(A y B). Con eso aplicarás la regla general y la comprobarás con el complemento.
- Paso 1 · Contar. Las filas de «Plantas revisadas» y «Con mosca blanca» ya tienen fórmulas de modelo. Completa «Con virus» con
=CONTAR.SI(C7:C86,"Sí"), «Con las dos» con=CONTAR.SI.CONJUNTO(B7:B86,"Sí",C7:C86,"Sí")y «Con ninguna» con la misma función y “No” en las dos condiciones. Calcula cada probabilidad dividiendo entre el total. - Paso 2 · Regla general y complemento. Calcula P(mosca o virus) de dos maneras: con P(MB) + P(V) − P(las dos) y con 1 − P(ninguna). Deben dar lo mismo.
- Paso 3 · El error de contar doble. Calcula la suma sin restar y cuántas plantas quedaron contadas dos veces.
- Paso 4 · Responde las Preguntas 2 a 4.
Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En Excel en inglés: CONTAR.SI = COUNTIF, CONTAR.SI.CONJUNTO = COUNTIFS, CONTARA = COUNTA.
6. Antes de entregar
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