Posición y variación

Cuartiles, rango, desviación estándar y coeficiente de variación

2026-10-16

Clase 08 · Unidad I · Descripción de biosistemas

Posición y variación

Cuartiles, rango, desviación estándar y coeficiente de variación

¿Qué tan parejos son los datos?

  • 60 minutos
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El tema de hoy

En la clase 7 resumiste un conjunto de datos con un número que representa el centro: la media o la mediana. Pero dos lotes pueden tener el mismo centro y ser muy distintos: en uno todos los animales pesan casi lo mismo y en el otro hay unos muy chicos y otros muy grandes. Hoy aprenderás a medir qué tan dispersos están los datos y en qué posición queda cada uno respecto a los demás.

Ya vimos · Clase 07 Media, mediana y moda ¿Alrededor de qué valor están los datos?

Hoy · Clase 08 Posición y variación ¿Qué tan lejos de ese valor se reparten?

Después · Clase 09 Diagrama de caja Todo el lote en una sola figura

Al terminar la clase podrás:

  1. Ordenar un conjunto de datos y obtener sus cuartiles, un percentil y el rango intercuartílico.
  2. Calcular el rango y la desviación estándar, a mano con pocos datos y con Excel con muchos, e interpretarla con su unidad.
  3. Comparar la variación de dos grupos con el coeficiente de variación, aunque estén en unidades distintas.
  4. Usar una medida de centro y una de variación para recomendar una decisión.

Palabras clave variación rango cuartil percentil rango intercuartílico (RIC) desviación estándar coeficiente de variación (CV)

Cómo usar esta página

Esta página se lee; el Excel se contesta. Lee las secciones 1 a 4 antes de abrir el archivo de Excel: ahí está el problema, para qué sirve lo que vas a hacer y cómo se calcula cada medida. Los recuadros marcados con Prueba se pueden mover: úsalos para ver qué pasa con los números.

La sección 5 te dice, paso a paso, qué hacer en cada hoja del Excel. Los ejercicios usan tres casos: plántulas de maíz y semillas de frijol (a mano) y otra vez las 40 tilapias (en Excel).

1. Un problema para empezar: ¿qué estanque tiene los peces más parejos?

El productor de tilapia consiguió un nuevo cliente: un restaurante que sirve el pescado entero. El restaurante paga mejor, pero pone una condición: los peces deben ser parejos, porque todos los platillos tienen que verse del mismo tamaño. Si en una caja llegan peces de 280 g mezclados con peces de 400 g, el restaurante devuelve el pedido.

El productor tiene que decidir de qué estanque mandar el primer pedido. Con lo que sabes de la clase pasada calculas las medias:

Estanque E1 · media 308.8 g

Estanque E2 · media 310.0 g

Casi iguales. ¿Da lo mismo cuál mandar?

No necesariamente: la media no dice qué tan parecidos son los peces entre sí. Para eso necesitas una medida de variación.

2. Por qué no basta con lo que hiciste la clase pasada

Mira estos dos lotes de cinco cerdos listos para venta:

Lote Pesos (kg) Media Mediana
Lote 1 98, 99, 100, 101, 102 100 kg 100 kg
Lote 2 80, 90, 100, 110, 120 100 kg 100 kg

Los mismos datos en una recta Cada punto es un cerdo. La línea vertical marca la media, que es 100 kg en los dos lotes. Pasa el cursor sobre un punto para ver su peso.

Las medidas de centro son idénticas, pero los lotes no lo son. En el Lote 1 todos los cerdos están a 2 kg o menos de 100; en el Lote 2 hay cerdos 20 kg por debajo y 20 kg por encima. Para el rastro, el Lote 2 significa canales desiguales y precios distintos por animal.

La media y la mediana responden «¿alrededor de qué valor están los datos?». Hoy agregamos la segunda pregunta que todo reporte descriptivo debe contestar: «¿qué tan lejos de ese valor se reparten?».

3. Dónde vas a usar esto

Avicultura. Las integradoras miden la uniformidad de cada caseta de pollo de engorda. Un lote disparejo complica el procesamiento en la planta y baja el pago al granjero.

Acuicultura. Antes de cosechar se revisa si la talla es pareja. Si no lo es, se hace una cosecha parcial de los grandes y se deja crecer a los chicos.

Agricultura. Una emergencia dispareja produce plantas de distinta edad que maduran en fechas distintas y complican la cosecha mecánica. En riego, la uniformidad del agua aplicada se evalúa con medidas parecidas a las de hoy.

Control de calidad. El contenido de grasa de la leche, el calibre de la fruta o la humedad del grano deben variar poco para cumplir con el contrato.

Experimentos. En la Unidad III verás que los reportes de ensayos de campo siempre incluyen el coeficiente de variación: si es muy alto, el experimento se condujo mal o el campo era muy desigual.

En todos estos casos, un lote parejo vale más que uno disparejo con la misma media.

4. Las medidas de posición y variación

4.1 El rango: la medida más rápida

Rango = valor máximo − valor mínimo

Ya lo usaste en la clase 6 para construir intervalos. En el ejemplo de los cerdos, el rango del Lote 1 es 102 − 98 = 4 kg y el del Lote 2 es 120 − 80 = 40 kg. Es fácil de calcular, pero tiene un defecto: sólo usa dos datos, los extremos. Un solo animal raro puede hacerlo enorme aunque el resto del lote sea parejo.

4.2 Cuartiles, percentiles y rango intercuartílico

Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes con la misma cantidad de datos. Ya conoces uno: la mediana es el segundo cuartil.

Medida Qué indica
Q1 (primer cuartil) Aproximadamente el 25 % de los datos está en este valor o por debajo
Q2 = mediana El 50 % de los datos está en este valor o por debajo
Q3 (tercer cuartil) Aproximadamente el 75 % de los datos está en este valor o por debajo
Percentil 90 (P90) Aproximadamente el 90 % de los datos está en este valor o por debajo

Para encontrarlos se usa una sola regla de posición en los datos ordenados, donde p es la proporción buscada (0.25 para Q1, 0.50 para la mediana, 0.75 para Q3, 0.90 para P90):

Posición = 1 + p × (n − 1)

Si la posición es un número entero, el valor es el dato que ocupa ese lugar. Si termina en .5, el valor está a la mitad entre los dos datos vecinos. Con p = 0.50 la regla da (n + 1) ÷ 2, la misma posición de la mediana que usaste la clase pasada.

Ejemplo. Altura (cm) de 11 plántulas, ya ordenadas: 12, 14, 15, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 30.

Prueba Busca cada medida en los datos ordenados Elige una medida o mueve el control para cualquier percentil. La flecha marca la posición; los datos resaltados son los que se usan para obtener el valor.

Medida Posición Valor
Q1 1 + 0.25 × 10 = 3.5 a la mitad entre el 3.º y el 4.º dato: (15 + 15) ÷ 2 = 15 cm
Mediana 1 + 0.50 × 10 = 6 6.º dato: 18 cm
Q3 1 + 0.75 × 10 = 8.5 a la mitad entre el 8.º y el 9.º dato: (21 + 22) ÷ 2 = 21.5 cm
P90 1 + 0.90 × 10 = 10 10.º dato: 24 cm

El rango intercuartílico (RIC) es la distancia entre Q3 y Q1. Mide qué tan ancha es la mitad central de los datos:

RIC = Q3 − Q1

En el ejemplo: 21.5 − 15 = 6.5 cm

A diferencia del rango, el RIC no se altera por los extremos: si la plántula de 30 cm hubiera medido 60 cm, el rango cambiaría de 18 a 48 cm, pero Q1, Q3 y el RIC seguirían iguales. Compruébalo con el interruptor del recuadro de arriba.

Cuidado

Un percentil no es una calificación. Que una plántula esté en el percentil 90 no significa que «sacó 90»; significa que es más alta que aproximadamente el 90 % de las demás. Y la posición no es el valor: «Q1 = 3.5» es un error, 3.5 es sólo el lugar.

4.3 La desviación estándar: cuánto se alejan los datos de la media

La desviación estándar (s) usa todos los datos. Responde: ¿a qué distancia de la media suelen quedar los datos? Se calcula en cinco pasos:

  1. Calcula la media.
  2. A cada dato réstale la media: es su desviación. Las desviaciones siempre suman 0, porque las positivas y las negativas se compensan.
  3. Eleva cada desviación al cuadrado para que ya no se cancelen.
  4. Suma los cuadrados y divide entre n − 1. El resultado es la varianza (s²), que queda en unidades al cuadrado (kg², días²).
  5. Saca la raíz cuadrada: es la desviación estándar, otra vez en las unidades de los datos.

Se reporta la desviación estándar y no la varianza porque está en la misma unidad que los datos: «s = 0.4 kg» se entiende; «s² = 0.16 kg²» no. Con muchos datos nadie la calcula a mano: Excel lo hace con DESVEST.M. Hacerla a mano una vez sirve para entender qué mide. En la sección 4.6 puedes recorrer los cinco pasos con un ejemplo.

Los cinco pasos caben en una fórmula. La letra griega Σ (sigma) significa «suma»; \(\bar{x}\) es la media.

\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n - 1}} \]

4.4 El coeficiente de variación: comparar variación en escalas distintas

CV = desviación estándar ÷ media × 100 %

¿Varía más el peso de los becerros (media 210 kg, s = 21 kg) o el de los pollitos de 7 días (media 45 g, s = 6 g)? No puedes comparar 21 kg con 6 g: son unidades y tamaños distintos. El CV expresa la desviación como porcentaje de la media:

Becerros · 21 ÷ 210 CV = 10 %

Pollitos · 6 ÷ 45 CV = 13.3 %

En proporción a su tamaño, los pollitos varían más.

No uses el CV

Cuando la media es cero o cercana a cero, o cuando el cero de la escala es arbitrario, como la temperatura en °C: una media de 1.5 °C con s = 3 °C daría un CV de 200 % que no significa nada.

4.5 Qué medida usar

Medida Ventaja Limitación Va bien con
Rango Rapidísima Sólo usa los dos extremos Una primera revisión
RIC No la afectan los extremos Ignora la mitad de los datos La mediana
Desviación estándar Usa todos los datos; misma unidad Un dato extremo la infla La media
CV Compara grupos en escalas distintas No sirve si la media es ≈ 0 Comparar lotes, variables o experimentos

En un reporte se presenta siempre una medida de centro acompañada de una de variación: «mediana 2.6 kg, RIC 0.2 kg» o «media 2.6 kg, s = 0.13 kg» (son los pollos de la Caseta 1 del ejemplo siguiente).

4.6 Ejemplo resuelto: uniformidad de dos casetas de pollo

Una integradora pesó 8 pollos de cada caseta al día 42 (kg). Caseta 1: 2.4, 2.5, 2.5, 2.6, 2.6, 2.7, 2.7, 2.8. Caseta 2: 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.6, 2.8, 3.0, 3.2. Las dos tienen media 2.6 kg. ¿Cuál es más uniforme?

Prueba Los cinco pasos de la desviación estándar Avanza paso por paso y cambia de caseta. Cada fila es un pollo; el cuadrado de la derecha crece con la desviación al cuadrado.

Caseta 1 · dato Desviación Cuadrado Caseta 2 · dato Desviación Cuadrado
2.4 −0.2 0.04 2.0 −0.6 0.36
2.5 −0.1 0.01 2.2 −0.4 0.16
2.5 −0.1 0.01 2.4 −0.2 0.04
2.6 0.0 0.00 2.6 0.0 0.00
2.6 0.0 0.00 2.6 0.0 0.00
2.7 0.1 0.01 2.8 0.2 0.04
2.7 0.1 0.01 3.0 0.4 0.16
2.8 0.2 0.04 3.2 0.6 0.36
Suma 0.0 0.12 Suma 0.0 1.12

Caseta 1

varianza = 0.12 ÷ 7 = 0.0171 kg²
s = √0.0171 = 0.13 kg
rango 0.4 kg
CV = 0.13 ÷ 2.6 = 5.0 %

Caseta 2

varianza = 1.12 ÷ 7 = 0.16 kg²
s = √0.16 = 0.40 kg
rango 1.2 kg
CV = 0.40 ÷ 2.6 = 15.4 %

Interpretación: con la misma media, los pollos de la Caseta 2 se alejan de 2.6 kg unas tres veces más que los de la Caseta 1. La Caseta 1 es la uniforme; la Caseta 2 tendrá pollos chicos y grandes al mismo tiempo, y eso conviene revisar (comederos, densidad, ventilación).

4.7 Lo que se gana y lo que se pierde

Con un número de centro y uno de variación ya puedes describir un lote en una frase. Pero los números no te muestran dónde están los datos raros ni la forma completa del lote. La próxima clase juntarás mínimo, Q1, mediana, Q3 y máximo en una sola figura, el diagrama de caja, que permite comparar varios grupos de un vistazo y señalar los datos que deben revisarse.

¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Dos lotes de becerros tienen media de 210 kg. El lote A tiene s = 8 kg y el lote B, s = 25 kg. ¿Cuál lote es más uniforme?

  1. El lote A
  2. El lote B
  3. Son igual de uniformes, porque tienen la misma media

La media sólo dice alrededor de qué valor están los becerros; no dice qué tan parecidos son entre sí. La desviación estándar sí: en el lote A los animales suelen quedar a unos 8 kg de 210 kg, y en el lote B a unos 25 kg. Menor desviación estándar, lote más parejo. Como los dos lotes están en kg y tienen la misma media, aquí basta comparar s; no hace falta el CV.

2. A una muestra de 20 plantas se agrega por error una planta de otra variedad, mucho más alta que las demás. ¿Qué medida cambia menos?

  1. El rango
  2. La desviación estándar
  3. El rango intercuartílico (RIC)

El rango usa sólo el máximo y el mínimo, así que la planta nueva lo cambia por completo. La desviación estándar usa todos los datos, y como las desviaciones se elevan al cuadrado, un dato muy lejano pesa mucho. El RIC sólo mira la mitad central (de Q1 a Q3): un dato extremo apenas lo mueve. Por eso el RIC acompaña a la mediana cuando hay datos raros.

3. Un reporte de un invernadero dice: «Temperatura nocturna: media 2 °C, CV = 150 %». ¿Qué opinas?

  1. La temperatura varió muchísimo: 150 % es un CV altísimo
  2. El CV no tiene sentido aquí: el cero de los °C es arbitrario y la media está cerca de cero
  3. Está bien, pero debería reportarse la varianza

El CV divide la desviación estándar entre la media. Si la media está cerca de cero, el cociente se dispara aunque la variación sea modesta: aquí s sería 3 °C. Además, 0 °C no significa «nada de temperatura», así que «150 % de la media» no se puede interpretar. Lo correcto es reportar la media y la desviación estándar en °C: «media 2 °C, s = 3 °C».

4. Una tilapia está en el percentil 75 de peso de su estanque. ¿Qué significa?

  1. Pesa lo mismo o más que aproximadamente el 75 % de los peces del estanque
  2. Pesa el 75 % de lo que pesa el pez más grande
  3. Tiene una calificación de 75 en tamaño

Un percentil es una posición, no un porcentaje del valor ni una calificación. Que la tilapia esté en el percentil 75 quiere decir que, al ordenar los pesos, aproximadamente tres de cada cuatro peces quedan en su peso o por debajo. Es exactamente lo que dice Q3: el percentil 75 y el tercer cuartil son lo mismo.

5. Lo que harás hoy

Excel de la Clase 08 · 2 hojas
Guárdalo como Clase08_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.

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Calcular a mano · hoja 1_Variacion_a_mano

Caso A: altura de plántulas de maíz. Un técnico midió 11 plántulas a los 15 días de la siembra para revisar si la emergencia fue pareja. Necesita saber entre qué alturas está la mitad central del lote y qué tan altas son las más adelantadas.

Caso B: días a germinación de frijol. Se compararon dos lotes de semilla de 5 semillas cada uno. Los dos tienen una media de 8 días, pero el productor quiere la semilla que germine de forma más pareja.

Para qué te sirve hacerlo a mano. Con 11 y con 5 datos ves de dónde sale cada número: por qué hay que ordenar, qué es una posición y por qué las desviaciones se elevan al cuadrado. En el Ejercicio 3 Excel hará lo mismo con 40 datos.

  1. Escribe tu nombre y la fecha.
  2. Caso A · Ordenar. Copia las 11 alturas en la columna «Ordenados», de menor a mayor.
  3. Caso A · Posiciones y valores. Para Q1, la mediana, Q3 y P90 calcula la posición con 1 + p × (n − 1) y busca el valor. Si la posición termina en .5, promedia los dos datos vecinos.
  4. Caso A · Rango y RIC. Rango = máximo − mínimo; RIC = Q3 − Q1.
  5. Caso B · Desviaciones. En cada lote, resta 8 a cada dato y eleva el resultado al cuadrado. Suma ambas columnas: la suma de las desviaciones debe dar 0.
  6. Caso B · Desviación estándar. Divide la suma de cuadrados entre n − 1 = 4 (varianza) y saca la raíz cuadrada. Calcula también el rango de cada lote.
  7. Contesta las Preguntas 1 y 2.
Comprueba antes de seguir

Q1 debe ser menor o igual que la mediana, y la mediana menor o igual que Q3. Si no es así, tu lista no está ordenada. En el Caso B, si la suma de las desviaciones no da 0, revisa los signos.

Revisar afirmaciones y comparar con el CV · misma hoja 1_Variacion_a_mano

La situación. Un técnico o un proveedor puede presentar una medida de variación correcta e interpretarla mal, o comparar números que no se pueden comparar. Si aceptas la conclusión sin revisarla, puedes elegir la semilla o el lote equivocado.

Para qué te sirve. Practicas usar las reglas de la sección 4 como lista de revisión, igual que en las clases anteriores.

  1. Parte A. Lee las cuatro afirmaciones. Para cada una elige Sí o No en «¿Es correcta?» y, si no lo es, escribe el error y lo correcto.
  2. Parte B. Calcula el CV de los becerros y de los pollitos y decide cuál grupo varía más en proporción a su tamaño.

Posición y variación en Excel · hoja 2_Variacion_Excel

Caso: peso de tilapias. Es el problema de la sección 1: el restaurante quiere peces parejos y el productor debe elegir el estanque. Con 10 peces por estanque ya conviene que Excel calcule todo. Así puedes comparar los cuatro estanques al mismo tiempo y decidir con números.

  1. Paso 1 · Todo el lote. En la columna F escribe las fórmulas con el rango C7:C46. La columna G (estanque E1) ya las tiene y te sirve de modelo: =CONTAR(), =PROMEDIO(), =MIN(), =MAX(), =CUARTIL.INC(rango,1), =MEDIANA(), =CUARTIL.INC(rango,3), =DESVEST.M(). El rango, el RIC y el CV se calculan restando o dividiendo celdas.
  2. Paso 2 · Por estanque. Copia la columna G a H, I y J y cambia el rango al de cada estanque (lo tienes en el renglón 7).
  3. Paso 3 · Sin el pez F-33. Copia los 9 pesos del estanque E4 sin F-33 (celdas C37, C38 y C40 a C46) en las celdas amarillas L7:L15. Después calcula el rango, el RIC y la desviación estándar de esa lista en la tabla del Paso 3 y compáralos con los de E4 completo.
  4. Paso 4 · Percentil 90. En F33 escribe =PERCENTIL.INC(C7:C46,0.9) y en F34 =CONTAR.SI(C7:C46,">="&F33).
  5. Paso 5 · Responde las Preguntas 3 a 7 con número, unidad y a qué se refiere.
Si Excel marca error

Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ) para separar: =CUARTIL.INC(C7:C16;1). En Excel en inglés las funciones se llaman QUARTILE.INC, STDEV.S, PERCENTILE.INC y COUNTIF.

Excel calcula los cuartiles con la misma regla 1 + p × (n − 1) de la sección 4.2; si la posición cae en 3.25, toma el valor a un cuarto del camino entre el 3.º y el 4.º dato. Puedes verlo en el recuadro interactivo de la sección 4.2 moviendo el control de percentil.

6. Antes de entregar

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Práctica extra (opcional)

¿Quieres practicar antes del examen? Aquí puedes generar tantos conjuntos de datos como quieras, calcular a mano y comprobar tus resultados. Si te equivocas, la página te dice en qué paso revisar.

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