Distribución de Poisson
Conteos por unidad de tiempo, de área o de volumen
Tema T07 · Unidad II · Probabilidad y distribuciones
Distribución de Poisson
Conteos por unidad de tiempo, de área o de volumen
¿Cuántos corrales de maternidad preparar si paren 3 vacas por noche en promedio?
De qué trata este tema
La binomial de T06 cuenta éxitos de un total conocido: de 20 plántulas, cuántas prenden. Pero muchos conteos del campo no tienen un «de cuántos»: cuántas vacas paren en una noche, cuántas malezas hay en un metro cuadrado, cuántas bacterias en un mililitro de leche. Para esos conteos se usa la distribución de Poisson, que sólo necesita un número: el promedio de sucesos por unidad, llamado λ (lambda). Con él se calcula la probabilidad de 0, 1, 2 o más sucesos y se planea para los días «malos», no sólo para el promedio.
Necesitas T05 (distribución y valor esperado) y T06 (binomial)
Este tema T07 · Distribución de Poisson
Sigue T08 · Variables continuas y distribución normal
Al terminar el tema podrás:
- Distinguir cuándo un conteo sigue una Poisson y cuándo una binomial.
- Calcular P(X = k) con la fórmula de Poisson y probabilidades acumuladas en Excel con POISSON.DIST.
- Cambiar λ de unidad (de una noche a una semana, de 1 m² a 4 m²).
- Revisar con datos si un conteo es aleatorio (varianza ≈ media) o agregado (varianza mucho mayor que la media).
Palabras clave conteo por unidad tasa promedio λ distribución de Poisson media = varianza agregación frecuencia esperada
1. Un problema para empezar: ¿cuántos corrales de maternidad?
En temporada de partos, un rancho tiene en promedio 3 partos por noche. Cada vaca que pare necesita un corral de maternidad limpio. ¿Cuántos corrales hay que preparar para que alcancen al menos el 95% de las noches?
La respuesta rápida es «3, porque es el promedio». Pero con 3 corrales, en 35 de cada 100 noches paren más de 3 vacas y falta lugar. Con la Poisson se calcula que hacen falta 6 corrales: con 5 alcanzan el 91.6% de las noches y con 6, el 96.6%. Planear con el promedio deja sin lugar justo en las noches de más trabajo.
2. Por qué no basta con lo que ya sabes
Para usar la binomial haría falta saber n: ¿de cuántas vacas sale el número de partos de esta noche? Hay muchas vacas gestantes, cada una con una probabilidad pequeñísima de parir justo hoy, y ninguno de esos dos números se conoce bien. Lo que sí se conoce, por los registros, es el promedio por noche. La Poisson trabaja directamente con ese promedio. Y el valor esperado de T05 sólo dice el centro (3 partos), no qué tan seguido hay noches de 5 o 6.
3. Dónde vas a usar esto
- Ganadería. Partos, celos o nacimientos por día; casos de una enfermedad por mes en un hato.
- Agronomía. Malezas por metro cuadrado, insectos por trampa, frutos con plaga por árbol.
- Calidad e inocuidad. Colonias de bacterias por mililitro de leche o de agua; defectos por lote.
- Planeación. Corrales, personal o medicamento suficientes para los días con más sucesos.
- Muestreo de plagas. Saber si una plaga está repartida al azar o en focos cambia cómo se muestrea y cómo se controla.
4. La distribución de Poisson
4.1 Cuándo un conteo es Poisson
Una variable X sigue una Poisson cuando cuenta sucesos en un intervalo (de tiempo, de área o de volumen) y además:
- Los sucesos son independientes: que pase uno no hace más ni menos probable el siguiente.
- La tasa promedio es constante: en intervalos del mismo tamaño se espera el mismo número de sucesos, λ.
- No hay un «de cuántos»: el conteo puede ser 0, 1, 2… sin un máximo fijo.
| Binomial (T06) | Poisson (T07) | |
|---|---|---|
| Qué cuenta | Éxitos de n ensayos | Sucesos en un intervalo |
| Necesita | n y p | λ (promedio por intervalo) |
| Valor máximo | n | Sin máximo fijo |
| Ejemplo | De 15 vacas inseminadas, cuántas quedan gestantes | Cuántas vacas paren esta noche |
Se escribe X ~ Poisson(λ).
4.2 La fórmula
P(X = k) = e^(−λ) · λᵏ ÷ k!
e ≈ 2.71828 es una constante (en Excel, =EXP(1)); k! es el factorial: 3! = 3 × 2 × 1 = 6, y 0! = 1.
Con λ = 3 partos por noche: P(X = 0) = e^(−3) · 3⁰ ÷ 0! = 0.0498 × 1 ÷ 1 = 0.0498: en 5 de cada 100 noches no pare ninguna vaca. P(X = 2) = 0.0498 × 9 ÷ 2 = 0.2240. P(X = 3) = 0.0498 × 27 ÷ 6 = 0.2240.
4.3 Media y varianza: las dos son λ
En la Poisson la media y la varianza valen lo mismo:
μ = λ σ² = λ σ = √λ
Con λ = 3 partos por noche: μ = 3 y σ = √3 = 1.73.
Esa propiedad sirve para revisar con datos si la Poisson es razonable: se calculan la media y la varianza de los conteos (Unidad I) y se comparan.
| Si la varianza es… | Qué pasa | Ejemplo |
|---|---|---|
| ≈ la media | Los sucesos están repartidos al azar: la Poisson funciona. | Malezas que germinan del banco de semillas del suelo |
| Mucho mayor que la media | Hay agregación: muchos ceros y algunos valores muy altos (focos). | Pulgones: donde llega una hembra, forma una colonia |
| Mucho menor que la media | Hay regularidad: los sucesos se reparten parejo. | Árboles plantados a marco real |
Con agregación, la Poisson subestima la probabilidad de ceros y de conteos altos. Para una plaga en focos, muestrear pocas plantas puede dar «cero plaga» aunque haya focos fuertes.
Prueba ¿Al azar o en focos? Una parcela de 100 cuadros (datos simulados, no los del Excel). Con el mismo promedio por cuadro, cambia entre individuos repartidos al azar y agrupados en focos, y compara el histograma con lo que predice la Poisson.
4.4 Cambiar la unidad: λ crece con el intervalo
λ siempre va con su unidad. Si el intervalo cambia, λ cambia en la misma proporción:
- 3 partos por noche → en una semana, λ = 3 × 7 = 21 partos.
- 1.5 quelites por m² → en un cuadro de 2 m × 2 m = 4 m², λ = 1.5 × 4 = 6 quelites.
- 50 bacterias por ml → en 0.1 ml, λ = 50 × 0.1 = 5 bacterias.
Lo que no se vale es calcular la probabilidad para una noche y multiplicarla por 7: hay que cambiar λ primero y después calcular.
4.5 La Poisson en Excel
La función POISSON.DIST (igual en español y en inglés) funciona como DISTR.BINOM.N de T06:
=POISSON.DIST(k, λ, FALSO) → P(X = k) =POISSON.DIST(k, λ, VERDADERO) → P(X ≤ k)
«Al menos k» es 1 − P(X ≤ k − 1), igual que en la binomial.
| Lo que se pregunta (λ = 3) | Se escribe | En Excel |
|---|---|---|
| Exactamente 3 partos | P(X = 3) | =POISSON.DIST(3,3,FALSO) |
| 5 o menos (alcanzan 5 corrales) | P(X ≤ 5) | =POISSON.DIST(5,3,VERDADERO) |
| Más de 5 (faltan corrales) | P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5) | =1-POISSON.DIST(5,3,VERDADERO) |
4.6 Ejemplo resuelto: quelites en la parcela
En una parcela de frijol hay en promedio 1.5 plantas de quelite por m², repartidas al azar. Se lanza un cuadro de 1 m² para muestrear.
- ¿Es Poisson? Cuenta plantas en un área, repartidas al azar y con un promedio conocido. Sí: X ~ Poisson(1.5).
- P(X = 0) = e^(−1.5) = 0.2231: en 22 de cada 100 cuadros no aparece ningún quelite.
- P(X = 1) = 0.2231 × 1.5 ÷ 1 = 0.3347; P(X = 2) = 0.2231 × 2.25 ÷ 2 = 0.2510.
- P(X ≥ 3) = 1 − (0.2231 + 0.3347 + 0.2510) = 0.1912. En Excel:
=1-POISSON.DIST(2,1.5,VERDADERO). - Con un cuadro de 4 m²: λ = 6 y P(X = 0) = e^(−6) = 0.0025: casi nunca sale vacío.
Cómo se comunica: «Con cuadros de 1 m², uno de cada cinco sale sin quelite aunque la maleza esté en toda la parcela; con cuadros de 4 m² eso casi no pasa». Por eso el tamaño del cuadro de muestreo importa: cuadros muy chicos dan muchos ceros.
4.7 Lo que se gana y lo que se pierde
Con un solo número, el promedio λ, la Poisson da la probabilidad de cualquier conteo y permite planear para los días con más sucesos. A cambio, supone que los sucesos son independientes y que la tasa es constante. Si hay contagio, focos de plaga o temporadas (más partos a mitad de la temporada que al principio), la varianza crece y la Poisson se queda corta. Por eso siempre conviene comparar la media con la varianza de los datos antes de usarla.
¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.
1. ¿Cuál de estos conteos sigue mejor una Poisson?
- De 30 vacas inseminadas, cuántas quedan gestantes
- Cuántas vacas paren en una noche en un hato grande
- De 50 semillas, cuántas germinan
Los partos de una noche son sucesos en un intervalo de tiempo, sin un «de cuántos» fijo. Los otros dos cuentan éxitos de un total conocido: son binomiales.
2. En promedio hay 2 malezas por m². ¿Cuánto vale λ para un cuadro de 3 m²?
- 2
- 6
- 0.67
λ crece con el tamaño del intervalo: 2 por m² × 3 m² = 6 malezas por cuadro.
3. En 80 plantas, los pulgones tienen media 1.5 y varianza 5. ¿Qué indica?
- Se reparten al azar
- Están agregados en focos: la Poisson no sirve
- Hay muy pocos pulgones
En una Poisson la varianza es igual a la media. Una varianza más de tres veces mayor indica agregación: muchas plantas limpias y unas pocas con muchas colonias.
4. En promedio paren 3 vacas por noche. ¿Por qué no basta preparar 3 corrales?
- Sí basta: es el promedio
- Porque λ cambia cada noche
- Porque en 35 de cada 100 noches paren más de 3
P(X ≤ 3) = 0.647 con λ = 3: en el resto de las noches faltaría lugar. Para cubrir el 95 % de las noches hacen falta 6 corrales.
5. Lo que harás
Excel del Tema T07 · 2 hojas
Guárdalo como U2-T07_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.
¿Binomial o Poisson? y fórmula a mano (hoja 1_Poisson_a_mano)
Caso A: ¿binomial o Poisson? Seis conteos. Para cada uno decide qué distribución le corresponde.
Caso B: vacas en celo. En un hato lechero se detectan en promedio 2 vacas en celo por día. El veterinario puede inseminar a lo más 3 vacas al día.
Para qué te sirve hacerlo a mano. Con λ = 2 los números son sencillos y se ve qué hace cada parte de la fórmula. En Excel usarás la función.
- Escribe tu nombre y la fecha.
- Caso A. Elige Binomial o Poisson en cada conteo. Pista: pregúntate «¿de cuántos?».
- Caso B. Completa λᵏ, k! y P(X = k) con 4 decimales para k = 0 a 4. El valor e^(−2) = 0.1353 ya está en la tabla.
- Calcula P(X ≥ 4) (más vacas de las que puede atender el veterinario), cuántos días de un mes de 30 esperas así y cuántos celos esperas en una semana.
- Contesta las Preguntas 1 y 2.
P(X = 1) y P(X = 2) salen iguales con λ = 2 (0.2707). Las cinco probabilidades de k = 0 a 4 suman 0.9473: falta la parte de 5 o más.
Poisson en Excel (hoja 2_Poisson_Excel)
El caso: en una parcela se contaron los quelites en 80 cuadros de 1 m², y en un cultivo de calabaza se contaron las colonias de pulgón en 80 plantas. Las dos variables tienen casi el mismo promedio, pero ¿se reparten igual? Al final usarás la Poisson para el problema de los corrales de maternidad.
Para qué: comparar la media con la varianza es la forma rápida de saber si se puede usar la Poisson, y la tabla de frecuencias esperadas muestra qué tan bien se ajusta.
- Paso 1 · Media y varianza. Calcula con
=PROMEDIOy=VAR.Sla media y la varianza de cada columna, y el cociente varianza ÷ media. Si el cociente está cerca de 1, la Poisson es razonable. - Paso 2 · Ajuste para los quelites. La fila k = 0 ya tiene las fórmulas de modelo:
=CONTAR.SI($B$7:$B$86,F13)para la frecuencia observada,=POISSON.DIST(F13,$G$7,FALSO)para la probabilidad (λ es la media de los quelites, en G7) y=$C$5*H13para la frecuencia esperada (80 × probabilidad). Cópialas hasta k = 4. En la fila «5 o más» usa=CONTAR.SI($B$7:$B$86,">=5")y=1-POISSON.DIST(4,$G$7,VERDADERO). - Paso 3 · Corrales de maternidad. Con λ = 3, calcula P(X ≤ c) para c = 0 a 8 corrales con
=POISSON.DIST(F24,$H$22,VERDADERO)y marca con «Sí» los que llegan a 0.95. - Paso 4 · Responde las Preguntas 3 a 6.
Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ). En inglés: PROMEDIO = AVERAGE, VAR.S = VAR.S, CONTAR.SI = COUNTIF, SI = IF. En Excel antiguo, POISSON.DIST se llama POISSON.
6. Antes de entregar
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