El centro de los datos: media, mediana y moda
Medidas de tendencia central
Clase 07 · Unidad I · Descripción de biosistemas
El centro de los datos: media, mediana y moda
Medidas de tendencia central
¿Qué número representa mejor a todo el conjunto?
El tema de hoy
En la clase 6 hiciste una tabla de frecuencias agrupada y su histograma: te mostraron cómo se reparten los datos. Hoy vas a resumir todo un conjunto de datos con un solo número que represente el valor «típico». Hay tres maneras de hacerlo: la media, la mediana y la moda. No siempre dan lo mismo, y elegir la equivocada puede llevar a una mala decisión.
Al terminar la clase podrás:
- Calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos, primero a mano y después con Excel.
- Explicar por qué la media y la mediana pueden dar valores distintos cuando hay un dato muy alejado.
- Elegir la medida adecuada según el tipo de variable y la pregunta que se quiere contestar.
- Escribir el resultado con número, unidad y a qué se refiere.
Palabras clave media mediana moda valor extremo datos ordenados posición tendencia central
1. Un problema para empezar: ¿cuánto pesa una tilapia «típica»?
En la clase pasada el productor de tilapia supo cuántos peces ya alcanzaban los 360 g. Ahora el comprador le hace otra pregunta: «¿cuánto pesa un pez típico de tu lote?». Con ese número decide qué precio ofrecer. Al mismo tiempo, el productor necesita calcular cuántos kilos de pescado va a cosechar en sus cuatro estanques, porque de eso depende cuántas cajas, hielo y transporte debe contratar.
Son dos preguntas parecidas, pero no son la misma. Una pide el valor que representa a un pez cualquiera del lote; la otra pide un número que sirva para calcular un total. Verás que cada una se contesta mejor con una medida distinta.
2. Por qué no basta con lo que hiciste la clase pasada
La tabla agrupada y el histograma te dijeron que el lote se concentra en el intervalo 280 a menos de 320 g. Eso es valioso, pero el comprador no quiere un rango: quiere un número. Además, con la tabla agrupada ya no puedes calcular un número exacto, porque perdiste los valores individuales (recuerda la sección 4.5 de la clase 6).
Por eso hoy se vuelve a la base original de 40 pesos y se resume con una sola cifra. Lo que ganas es sencillez: un número se comunica en una frase. Lo que pierdes es todo lo demás: un solo número no dice si los peces son parejos o muy desiguales. Eso lo verás la próxima clase.
3. Dónde vas a usar esto
Las medidas de centro aparecen en casi cualquier informe técnico de un biosistema:
- Agricultura. El rendimiento promedio por hectárea se usa para pedir un crédito, contratar un seguro agrícola o comparar tu parcela con las del distrito de riego.
- Ganadería. La ganancia diaria de peso promedio de un corral dice si la dieta funciona; la producción mediana de leche por vaca describe al hato sin que una vaca excepcional distorsione el dato.
- Acuicultura. El peso promedio de una muestra de peces, multiplicado por el número de peces, estima la biomasa del estanque y cuánto alimento hay que darle.
- Empaque y comercio. La moda dice qué calibre, talla o presentación sale más, y eso define cuántas cajas de cada tipo preparar.
- Ingresos del productor. Los organismos que reportan ingresos usan la mediana porque unos cuantos productores muy grandes jalarían el promedio hacia arriba.
En todos los casos el número resume a muchos datos, pero cuál número depende de para qué lo vas a usar.
4. Las tres medidas de centro
4.1 La media: el reparto equilibrado
La media (o promedio) se obtiene sumando todos los datos y dividiendo entre el número de datos:
Media = suma de los datos ÷ número de datos (n)
Piensa en la media como un reparto equilibrado: si juntaras todo el peso de los peces y lo repartieras en partes iguales, a cada pez le tocaría la media. Por eso es la medida que sirve para calcular totales: total = media × número de unidades.
La media puede dar un número que ningún dato tiene. Si 10 cerdas tuvieron 106 lechones, la media es 10.6 lechones por cerda. Ninguna cerda tuvo 10.6 lechones, pero el número sirve: con 100 cerdas parecidas esperarías unos 1 060 lechones. No se redondea a 11: si lo hicieras, calcularías 1 100 lechones, 40 más de los esperados.
4.2 La mediana: el dato de en medio
La mediana es el valor que queda en el centro cuando los datos están ordenados de menor a mayor. La mitad de los datos queda en ella o por debajo, y la otra mitad en ella o por encima.
- Ordena los datos de menor a mayor. Este paso no se puede saltar.
- Calcula la posición de la mediana: (n + 1) ÷ 2.
- Si n es impar, la posición es un número entero: la mediana es el dato que ocupa ese lugar.
- Si n es par, la posición termina en .5 (por ejemplo 5.5): la mediana es el promedio de los dos datos centrales (el 5.º y el 6.º).
| Datos | n | Posición (n + 1) ÷ 2 | Mediana |
|---|---|---|---|
| 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 | 7 (impar) | 4 | el 4.º dato: 6 |
| 6.2, 6.8, 7.1, 7.4, 7.9, 8.2 | 6 (par) | 3.5 | (7.1 + 7.4) ÷ 2 = 7.25 |
Cuidado: la posición no es la mediana. Si escribes «mediana = 4» en el primer ejemplo, estás dando el lugar, no el valor.
4.3 La moda: el valor que más se repite
La moda es el valor o la categoría que aparece más veces. Se encuentra contando, igual que en una tabla de frecuencias.
- Puede no existir: si ningún dato se repite, no hay moda. No se escribe 0: «moda = 0» significaría que el valor más común es cero.
- Puede haber varias: si dos valores empatan con la mayor frecuencia, ambos son moda.
- Es la única medida de centro para variables cualitativas nominales. No se puede sacar la media de «raza» o de «color de flor», pero sí decir cuál es la más frecuente.
En variables medidas con decimales (peso, altura) casi ningún valor se repite, así que la moda informa poco. Es más útil en conteos y en categorías.
4.4 Qué pasa cuando hay un dato muy alejado
Ocho parcelas de un ejido rindieron 5.8, 5.9, 6.0, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4 t/ha. Después se agrega una novena parcela que sufrió granizo: 1.2 t/ha.
| Situación | Media (t/ha) | Mediana (t/ha) |
|---|---|---|
| 8 parcelas | 48.8 ÷ 8 = 6.10 | (6.1 + 6.1) ÷ 2 = 6.10 |
| 9 parcelas (con la del granizo) | 50.0 ÷ 9 = 5.56 | 5.º dato = 6.10 |
| Cambio | bajó 0.54 t/ha | no cambió |
La media se mueve porque usa el valor de todos los datos: un dato muy bajo la jala hacia abajo. La mediana casi no se mueve porque sólo depende del orden: al agregar un dato muy bajo, el centro apenas se recorre un lugar.
¿Se borra la parcela del granizo? No. Es un dato real del ejido. Se conserva y se explica en el informe. Lo que sí cambia es qué medida conviene reportar.
Prueba El dato que jala la media Las ocho parcelas de la sección 4.4. Mueve el rendimiento de la novena parcela, o quítala, y compara cuánto se mueve la media y cuánto la mediana.
4.5 Cuál medida elegir
| Si la pregunta o la variable es… | Usa | Por qué |
|---|---|---|
| Calcular un total (kilos a cosechar, alimento a comprar) | Media | total = media × número de unidades |
| Valor típico, y hay datos muy alejados | Mediana | no la jala el dato extremo |
| Valor típico, datos parejos y sin extremos | Media o mediana | dan casi lo mismo |
| Variable cualitativa nominal (raza, variedad, calibre) | Moda | es la única que existe |
| Variable ordinal (daño: ninguno, leve, moderado, severo) | Mediana o moda | las categorías no son números que se puedan sumar |
4.6 Ejemplo resuelto: la leche de un establo
Un establo registró la producción de leche (L/día) de 9 vacas: 21, 18, 24, 19, 22, 20, 38, 19, 23. La vaca de 38 L acaba de parir y está en su pico de producción.
Paso 1 · Ordenar: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 38.
Paso 2 · Media: la suma es 204 L y n = 9, así que la media es 204 ÷ 9 = 22.7 L/día.
Paso 3 · Mediana: la posición es (9 + 1) ÷ 2 = 5; el 5.º dato ordenado es 21 L/día.
Paso 4 · Moda: el 19 aparece dos veces y los demás una: la moda es 19 L/día.
Paso 5 · Interpretar. Si el dueño pregunta «¿cuánto da una vaca típica?», la mejor respuesta es la mediana, 21 L/día: la vaca recién parida sube la media a 22.7, y 6 de las 9 vacas dan menos que eso. Si pregunta «¿cuánta leche entrego al día?», se usa la media: 22.7 × 9 = 204 L, que es exactamente el total.
4.7 Lo que se gana y lo que se pierde
Un solo número es fácil de comunicar, pero oculta cómo están repartidos los datos. Dos estanques pueden tener la misma media y ser muy distintos: en uno todos los peces pesan casi lo mismo y en el otro hay peces muy chicos y muy grandes. Por eso, en la próxima clase verás las medidas de posición y variación, que completan lo que la medida de centro no dice.
¿Lo entendiste? Cuatro preguntas rápidas No cuentan para la calificación. Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.
1. Cinco becerros pesan 180, 195, 200, 210 y 315 kg. ¿Cuál es la mediana?
- 200 kg
- 220 kg
- 210 kg
Con los datos ordenados, el dato del centro (el 3.º de 5) es 200 kg. La media es 1 100 ÷ 5 = 220 kg: la jala el becerro de 315 kg.
2. Con 8 datos ordenados, la mediana es…
- El 4.º dato
- El promedio del 4.º y el 5.º dato
- El dato que más se repite
Con un número par de datos hay dos en el centro, y la mediana es su promedio. El dato que más se repite es la moda.
3. Para calcular cuánto alimento comprar para 200 cerdos conviene usar…
- La media del consumo por cerdo
- La mediana
- La moda
Para un total se usa la media: total = media × número de unidades. La mediana no permite reconstruir el total.
4. Se registró la variedad de maíz sembrada en 30 parcelas. ¿Qué medida de centro se puede usar?
- La media
- La mediana
- La moda
La variedad es cualitativa nominal: no se puede sumar ni ordenar. La única medida que existe es la moda, la variedad más sembrada.
5. Lo que harás hoy
Excel de la Clase 07 · 2 hojas
Guárdalo como Clase07_Apellido_Nombre.xlsx y escribe sólo en las celdas amarillas.
Calcular a mano (hoja 1_Centro_a_mano)
Caso A: peso de becerros. Son los mismos 15 becerros de la clase pasada. El comprador ya tiene la tabla por rangos, pero ahora pregunta cuánto pesa un becerro típico del lote, y el ganadero quiere saber cuántos kilos en total va a vender.
Caso B: lechones por cerda. Una granja registró los lechones nacidos vivos en los partos de 10 cerdas. El encargado necesita un número que resuma el tamaño de camada para comparar con la meta de la granja.
Para qué te sirve hacerlo a mano. Así ves de dónde sale cada número: por qué hay que ordenar, cómo se encuentra el centro cuando n es par y qué significa que no haya moda. Después, en el Ejercicio 3, Excel hará lo mismo en un segundo.
- Escribe tu nombre y la fecha.
- Paso 1 · Ordenar. Copia los datos de cada caso en las celdas amarillas de «Ordenados», de menor a mayor. Tacha mentalmente cada dato que copies para no saltarte ninguno.
- Paso 2 · Media. Escribe n, la suma y divide. Para los becerros, la suma te dice también el total de kilos del lote.
- Paso 3 · Mediana. Calcula la posición (n + 1) ÷ 2 y busca el valor en tu lista ordenada. En el Caso B, n es par: promedia los dos datos centrales.
- Paso 4 · Moda. Busca el valor que más se repite. Si ninguno se repite, escribe «no hay».
- Contesta las Preguntas 1 y 2.
Antes de calcular, cuenta los datos ordenados: deben ser 15 becerros y 10 cerdas. El primero debe ser el valor más chico y el último el más grande. Una lista mal ordenada da una mediana equivocada aunque la división esté bien hecha.
Revisar resúmenes y elegir la medida (misma hoja)
La situación. En el trabajo vas a leer resúmenes hechos por otros: el técnico de la asociación, el veterinario, el proveedor de alimento. Un número mal calculado o mal elegido se ve igual de convincente que uno correcto.
Para qué te sirve. Revisar un resumen ajeno te obliga a usar las reglas de la sección 4 como lista de revisión, igual que revisaste intervalos la clase pasada.
- Parte A. Lee las cuatro afirmaciones que hicieron unos compañeros sobre los becerros y los lechones. Para cada una elige Sí o No en «¿Es correcta?» y, si no lo es, escribe el error y el valor correcto.
- Parte B. Para cada una de las cuatro situaciones elige la medida más adecuada (Media, Mediana o Moda) y escribe por qué en una línea. Usa la tabla de la sección 4.5.
Medidas de centro en Excel (hoja 2_Centro_Excel)
Caso: peso de tilapias. Es el problema de la sección 1: el comprador quiere el peso de un pez típico y el productor necesita calcular los kilos a cosechar.
Para qué: con 40 datos ordenar a mano ya es lento. Excel calcula las tres medidas con funciones, y además puedes comparar los cuatro estanques.
- Paso 1 · Todo el lote. En la columna F (Todo el lote) escribe: en F8
=CONTAR(C7:C46), en F9=PROMEDIO(C7:C46), en F10=MEDIANA(C7:C46), en F11=MODA.UNO(C7:C46)y en F12=F9-F10. - Paso 2 · Por estanque. La columna G (estanque E1) ya tiene las fórmulas con el rango C7:C16. Cópialas a las columnas H, I y J y cambia el rango al de cada estanque: E2 C17:C26, E3 C27:C36, E4 C37:C46. El renglón 7 te recuerda el rango de cada uno.
- Paso 3 · Un valor extremo. El pez F-33 del estanque E4 pesa 176 g y tenía lesiones. En F16 calcula la media de E4 sin él:
=PROMEDIO(C37:C38,C40:C46)(F-33 está en la fila 39). En F17 escribe cuántos gramos cambió la media. - Paso 4 · Ubicar en el histograma. Con tu tabla de la clase 6, escribe en qué intervalo cae la media y en cuál la mediana del lote completo.
- Paso 5 · Responde las Preguntas 3 a 7 con número, unidad y a qué se refiere.
#N/D en la moda no es un error tuyo: significa que ningún valor se repite, así que no hay moda.
Tu Excel puede usar punto y coma ( ; ) en lugar de coma ( , ) para separar. En Excel en inglés las funciones se llaman COUNT, AVERAGE, MEDIAN y MODE.SNGL.
6. Antes de entregar
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