Dinámica de temperatura

Ley de enfriamiento de Newton y balance de calor

2026-11-05

Tema IV.3 · Unidad IV · Simulación de biosistemas

Dinámica de temperatura

Ley de enfriamiento de Newton y balance de calor

¿Qué tan rápido se calienta un estanque?

  • Teoría y ejemplo resuelto
  • Ejercicios en papel con respuestas
  • Práctica en R
  • Versión 1 · noviembre de 2026
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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min
2. La idea central1 min
3. Qué sigue1 min

1. El problema

Un productor va a construir un estanque para tilapia, y tiene que decidir qué tan profundo. Alguien le dice: hazlo hondo, para que el agua esté más fresca.

Suena lógico. Pero ¿es cierto? Si lo piensas, un estanque hondo tiene más agua que calentar. ¿Eso lo hace más fresco, o sólo hace que cambie más despacio? No son lo mismo, y la diferencia importa.

La temperatura decide qué tan rápido crecen plantas, peces y microbios. Y el agua no copia la temperatura del aire. Puede quedar más caliente, si recibe mucho sol. Y tarda en responder.

Para responderle al productor, necesitas el mismo balance de los dos temas anteriores. Sólo que ahora lo que entra y lo que sale es calor.

2. La idea central

Empieza con algo que ya has visto en casa: una taza de café caliente se enfría rápido al principio, y lento al final. Eso lo describe la ley de enfriamiento de Newton: entre mayor es la diferencia con el ambiente, más rápido se pierde calor.

Lo que baja de forma exponencial no es la temperatura. Es la diferencia entre la temperatura y el ambiente. Por eso, igual que con el rastrojo o con el filtro, con logaritmos de esa diferencia sale una recta, y de su pendiente sale la constante.

Ahora agrega el sol. Un estanque recibe calor del sol y lo intercambia con el ambiente. Si sigue entrando más de lo que sale, el agua se calienta. Y entre más caliente, más pierde. Llega un momento en que se iguala. Ésa es la temperatura de equilibrio: la temperatura del aire, más el calor recibido dividido entre el coeficiente de intercambio.

Y aquí está la respuesta para el productor. En esa fórmula, la profundidad no aparece. Un estanque hondo no se estabiliza más fresco. La profundidad aparece en otra parte: en el tiempo característico. Un estanque con el doble de agua tarda el doble en responder.

¿Y entonces, para qué sirve la profundidad? Para la noche y el día. Como el sol sube y baja, la temperatura oscila. Con más agua, oscila menos. A eso se le llama inercia térmica. El máximo del agua, además, no llega al mediodía, sino horas después.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás una figura con tres profundidades bajo el mismo sol. Fíjate en cuánto sube y baja cada una.

Más adelante hay un recuadro interactivo para mover la profundidad, el intercambio y la temperatura del aire. Averigua cuál cambia el promedio, y cuál cambia la oscilación.

Después viene un ejemplo resuelto con una cubeta de agua que se enfría, que sólo se lee.

Luego siguen los ejercicios en papel, y al final abres R. Vas a estimar la constante, y a simular un estanque, hora por hora, durante diez días. Al final del script hay tres líneas que no marcan ningún error, y las tres están mal. Encontrar por qué es parte del ejercicio.

Ya tienes las tres herramientas: agua, sustancias y calor. El siguiente tema las lleva a un objeto real: un filtro que tú mismo vas a construir y medir.

De qué trata

La temperatura decide qué tan rápido crecen plantas, peces y microbios. El agua y el aire cambian de temperatura según cuánto calor entra y cuánto sale: es el mismo balance de los dos temas anteriores, ahora con energía. Con él se puede responder qué tan rápido se calienta un estanque, a qué temperatura se estabiliza y cuánto oscila entre el día y la noche.

Antes · Tema IV.2 Concentración de variables fisicoquímicas ¿Cuántas partículas salen del filtro?

Este tema · IV.3 Dinámica de temperatura ¿Qué tan rápido se calienta un estanque?

Después · Tema IV.4 Proyecto: filtro de agua ¿Coincide la simulación con el filtro real?

Al terminar este tema podrás:

  1. Aplicar la ley de enfriamiento de Newton, y estimar k con datos.
  2. Escribir el balance de calor de un cuerpo de agua.
  3. Calcular su temperatura de equilibrio y su tiempo característico.
  4. Simular en R una temperatura con entradas que cambian de día y de noche.
  5. Explicar el efecto de la profundidad.

Palabras clave ley de Newton constante de enfriamiento balance de calor capacidad calorífica temperatura de equilibrio inercia térmica oscilación diaria

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos y parámetros de este tema son didácticos.

1. El problema: ¿qué tan profundo?

Un productor va a sembrar tilapia en un estanque nuevo, y debe elegir la profundidad.

Agua al llenar 24 °C Fresca, de pozo

Aire 28 °C Promedio

Las preguntas: ¿Cuándo se estabiliza? ¿Cuánto oscila?

Una intuición común es que el estanque profundo «es más fresco». ¿Lo es? ¿O sólo cambia más despacio?

2. Por qué no basta conocer la temperatura del aire

El agua no copia la temperatura del aire. Tiene una capacidad para guardar calor muy alta: tarda en responder, y puede quedar más caliente que el aire si recibe mucho sol. Se necesita un modelo que incluya el calor que entra, el que sale y cuánta agua hay.

3. Las ideas

3.1 Ley de enfriamiento de Newton

Un cuerpo pierde o gana calor más rápido entre mayor sea su diferencia de temperatura con el ambiente:

Tsiguiente = T − k × (T − Ta) × paso

T: temperatura. Ta: temperatura del ambiente. k: constante, por tiempo. Tiene una fórmula directa: T = Ta + (T0 − Ta) × e−k×t.

Es la misma forma de la descomposición y del filtro: lo que decae exponencialmente es la diferencia T − Ta. Por eso k se estima con la recta de ln(T − Ta) contra el tiempo, y ln 2 ÷ k es el tiempo en que la diferencia se reduce a la mitad.

3.2 Balance de calor

Si además entra calor, por ejemplo del sol, se agrega al balance. Por cada metro cuadrado de estanque:

Tsiguiente = T + (S − U × (T − Ta)) ÷ (ρc × d) × paso

S: calor recibido (W/m²). U: coeficiente de intercambio con el ambiente (W/m² °C). ρc: calor para subir 1 °C un m³ de agua, 4 186 000 J/(m³ °C). d: profundidad (m). El paso va en segundos, porque 1 W = 1 J/s.

En este modelo sencillo, U agrupa todas las salidas: convección, radiación y evaporación. En un estudio real se calculan por separado.

3.3 Equilibrio y tiempo característico

Al igualar a cero lo que entra menos lo que sale:

T* = Ta + S ÷ U τ = ρc × d ÷ U

Mismo patrón que el tanque y que el estanque de los temas anteriores: un equilibrio y un tiempo característico.

Fíjate en una consecuencia: d está en τ, pero no en T*. Un estanque profundo no llega a una temperatura promedio menor. Sólo tarda más.

3.4 Día y noche

Con un S que cambia cada hora, ya no hay fórmula simple, pero la simulación funciona igual. Se ve la inercia térmica: entre más agua, menos oscila la temperatura, y el máximo del agua llega horas después del máximo del sol.

Tres curvas de temperatura contra día. Todas suben desde 24 grados hacia cerca de 33. La de 0.5 metros sube rápido y oscila mucho. La de 2 metros sube lento y oscila poco.

Tres profundidades con el mismo sol. Todas oscilan alrededor de cerca de 33 °C, pero el estanque de 0.5 m oscila más, y el de 2 m tarda más en calentarse.

Prueba El estanque de día y de noche Con un sol de hasta 628 W/m² al mediodía, que en promedio da unos 200 W/m². Mueve la profundidad, el intercambio y el aire. ¿Cuál cambia el promedio? ¿Cuál cambia la oscilación?

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4. Ejemplo resuelto: una cubeta que se enfría

Este ejemplo sólo se lee. Se midió la temperatura de una cubeta de agua caliente, en un cuarto a 25 °C (datos didácticos).

Paso 1 · Calcular la diferencia y su logaritmo.

Minuto 0 20 40 60 80
T (°C) 70 52.6 41.4 34.2 29.6
T − 25 45 27.6 16.4 9.2 4.6
ln(T − 25) 3.807 3.318 2.797 2.219 1.526

Paso 2 · Estimar k a mano, con el primero y el último. k = (3.807 − 1.526) ÷ 80 = 0.0285 por minuto.

Paso 3 · Ajustar con R.

Script de R

minuto <- c(0, 20, 40, 60, 80)
temp <- c(70, 52.6, 41.4, 34.2, 29.6)
lm(log(temp - 25) ~ minuto)

R contesta en la consola

Coefficients:
(Intercept)       minuto
     3.8654      -0.0283

Paso 4 · Usar el modelo. Con k = 0.0283 por minuto:

  • La diferencia se reduce a la mitad cada 0.693 ÷ 0.0283 = 24.5 minutos.
  • A los 30 minutos: T = 25 + 45 × e−0.0283×30 = 25 + 45 × 0.428 = 44.3 °C.
  • Para llegar a 30 °C, la diferencia debe bajar a 5: t = ln(45 ÷ 5) ÷ 0.0283 = 77.6 minutos.

Paso 5 · Interpretar.

Se enfría rápido al principio y lento al final, porque lo que decae es la diferencia con el cuarto. k no es una propiedad del agua: depende del volumen, del recipiente y del aire. Una cubeta con el doble de agua, en el mismo cuarto, se enfriaría más despacio.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora con teclas ln y ex. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Newton

Se midió el enfriamiento de una cubeta en un cuarto a 27 °C. Al inicio tenía 60 °C, y a los 120 minutos, 30.2 °C.

  1. Estima k con esos dos puntos.
  2. ¿En cuánto tiempo se reduce a la mitad la diferencia?
  3. Predice la temperatura a los 60 minutos. Se midieron 36.7 °C.

  1. k = (ln 33 − ln 3.2) ÷ 120 = (3.497 − 1.163) ÷ 120 = 0.0195 por minuto.

  2. 0.693 ÷ 0.0195 = 35.5 minutos.

  3. T = 27 + 33 × e−0.0195×60 = 27 + 33 × 0.310 = 37.2 °C. Queda a 0.5 °C de lo medido.

Ejercicio 2 · El estanque a mano

Un estanque tiene d = 0.8 m, U = 30 W/m² °C, S = 150 W/m² y Ta = 26 °C. Empieza en T = 22 °C.

  1. Calcula T* y τ, en horas.
  2. Da dos pasos de 1 hora (3 600 s).
  3. ¿A qué temperatura llega si la profundidad se duplica? ¿En cuánto tiempo?

  1. T* = 26 + 150 ÷ 30 = 31 °C. τ = 4 186 000 × 0.8 ÷ 30 = 111 627 s = 31 horas.

  2. Calor neto: 150 − 30 × (22 − 26) = 270 W/m². T = 22 + 270 ÷ (4 186 000 × 0.8) × 3 600 = 22 + 0.290 = 22.29 °C. Luego: 150 − 30 × (22.29 − 26) = 261.3 W/m². T = 22.29 + 0.281 = 22.57 °C.

  3. A la misma T* = 31 °C, con τ = 62 horas.

Ejercicio 3 · Interpretar los escenarios

Resultado de la simulación, en el último día de 10:

Profundidad (m) τ (horas) Mínimo (°C) Máximo (°C) Promedio (°C)
0.5 14.5 30.8 35.4 33.0
1 29.1 31.9 34.2 33.0
2 58.1 32.2 33.4 32.8
  1. ¿El estanque profundo es más fresco en promedio?
  2. ¿Qué le ofrece la profundidad al productor?
  3. ¿Por qué el de 2 m sale un poco más bajo en promedio?
  4. ¿Qué pasaría con la temperatura si U sube, por ejemplo con más viento o evaporación?

  1. No, en el equilibrio. El promedio es prácticamente el mismo.

  2. Menos oscilación entre el día y la noche: 1.2 °C con 2 m, contra 4.6 °C con 0.5 m.

  3. Porque, con τ = 58 horas, a los 10 días apenas está terminando de llegar. Todavía carga un poco del arranque frío.

  4. T* = Ta + S ÷ U baja. Con U = 80, el equilibrio pasa de 33 a 30.5 °C.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

  1. «El agua de un estanque nunca puede estar más caliente que el aire.»
  2. «k es una propiedad del agua.»
  3. «Lo que decae de forma exponencial es la temperatura.»
  4. «Si el sol es máximo a mediodía, el agua también llega a su máximo a mediodía.»

  1. Incorrecta. Con sol, T* = Ta + S ÷ U queda arriba de Ta.

  2. Incorrecta. Depende del volumen, del recipiente y del ambiente.

  3. Incorrecta. Lo que decae es la diferencia T − Ta.

  4. Incorrecta. El agua sigue subiendo mientras entre más calor del que sale. En esta simulación, su máximo llega cerca de las 17 horas.

6. Práctica en R

Vas a estimar k, a simular el estanque y a comparar profundidades.

Carpeta IBS-MDO-Tema-IV3 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo Para qué
tema_IV3.Rproj Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_IV3_script.R El script con los bloques que vas a ejecutar.
enfriamiento.csv Temperatura de una cubeta, cada 15 minutos.
  1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_IV3.Rproj y abre Tema_IV3_script.R desde el panel Files.
  2. Bloques 1 a 3. Estima k. Compara con tu Ejercicio 1.
  3. Bloques 4 a 6. Calcula el equilibrio y simula 10 días con S constante.
  4. Bloques 7 y 8. Agrega el día y la noche. Anota el mínimo y el máximo del último día.
  5. Bloque 9. Escribe tú el escenario de 0.5 m. Después prueba con 2 m.
  6. Recomienda una profundidad al productor. Di qué ganas y qué pierdes.
  7. Bloque 10. Borra el # de cada línea y ejecútala. Ninguna marca error, pero las tres están mal. Encuentra por qué.

Bloque 3. R da 3.48106 y -0.01953: k = 0.0195 por minuto, y la diferencia se reduce a la mitad cada 35.5 minutos. Además, exp(3.481) = 32.5 °C, parecido a la diferencia inicial de 33 °C.

A la izquierda, temperatura contra minuto, en una curva que baja. A la derecha, logaritmo de la diferencia contra minuto, sobre una recta.

Lo que dibuja R: una curva en los datos y una recta en logaritmos.

Bloque 5. T* = 33 °C. τ = 29.1 horas.

Bloque 6. Se acerca a 33 °C: en la hora 240 da 33.00 °C.

Bloque 7. Máximo a las 12 horas; 0 de noche; promedio cercano a 198 W/m².

Bloque 8. En el último día, de 31.9 a 34.2 °C.

Bloque 9. Con 0.5 m, de 30.8 a 35.4 °C.

Script de R

prof <- 0.5
Te[1] <- 24
for (i in 2:length(horas)) {
  Te[i] <- Te[i - 1] + (sol[i - 1] - U * (Te[i - 1] - T_aire)) / (rho_c * prof) * paso
}
Te_05m <- Te
lines(horas, Te_05m, lty = 2)
range(Te_05m[horas >= 216])

Recomendación de ejemplo: «La profundidad no cambia la temperatura promedio, que aquí queda cerca de 33 °C. Con más profundidad, el agua oscila menos, pero tarda más en calentarse, y cuesta más construirla. Con estos parámetros, 1 m parece un punto medio. Si el promedio resulta demasiado alto para la especie, la solución no es la profundidad, sino cambiar el balance de calor, por ejemplo con sombra o recambio de agua.»

Bloque 10.

  • log(enfriamiento$temperatura_c) olvida restar T_amb. Lo que decae es la diferencia.
  • rho_c * prof / U da 104 650, en segundos, no en horas. Falta dividir entre 3 600.
  • sin(2 * pi * (horas - 6) / 24) * 628 da valores negativos de noche, como si el sol enfriara. Falta pmax(0, …).

Si R marca un error

Lo que ves Qué significa Qué hacer
NaNs produced en log() Alguna diferencia es negativa. Revisa que T_amb sea menor que todas las temperaturas.
objeto 'sol' no encontrado No ejecutaste el Bloque 7. Ejecútalo antes del Bloque 8.
Temperaturas absurdas, como 500 °C El paso va en unidades equivocadas. Revisa que paso esté en segundos.
+ en la consola Falta cerrar una llave o un paréntesis. Presiona Esc y selecciona todo el for.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Un estanque tiene Ta = 25 °C, S = 150 W/m² y U = 30 W/m² °C. ¿Cuál es su T*?

  1. 25 °C
  2. 150 °C
  3. 30 °C

T* = 25 + 150 ÷ 30 = 30 °C.

2. Si la profundidad se duplica, ¿qué pasa?

  1. T* baja a la mitad
  2. τ se duplica
  3. U se duplica

d aparece en τ = ρc × d ÷ U, y no en T*.

3. ¿Qué decae exponencialmente en la ley de Newton?

  1. La diferencia entre T y Ta
  2. La temperatura T
  3. El ambiente

Por eso, al sacar el logaritmo, se usa T − Ta.

4. Con sol que varía de día y de noche, ¿qué efecto tiene más agua?

  1. Sube el promedio
  2. Reduce la oscilación
  3. Elimina la noche

Se llama inercia térmica: el mismo calor mueve menos la temperatura de más agua.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción Qué hace En Excel sería
sin(x) Seno SENO(x)
pi El número π PI()
pmax(0, x) Mayor entre 0 y x, renglón por renglón MAX(0, x), arrastrada
range(x) Mínimo y máximo MIN y MAX
Te[horas >= 216] Los valores que cumplen la condición FILTRAR