Transformación logarítmica

Del crecimiento exponencial a una recta, y comparación de tratamientos

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad III

Tema III.2 · Unidad III · Dinámica de biosistemas

Transformación logarítmica

Del crecimiento exponencial a una recta, y comparación de tratamientos

¿Por qué el crecimiento se analiza en logaritmos?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

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1. El problema

Un productor de trigo le aplicó un abono a seis parcelas, y dejó otras seis sin abono. Al final de seis semanas, las abonadas tienen más biomasa. ¿Ya con eso se puede decir que el abono acelera el crecimiento?

Todavía no. Comparar sólo el último día mezcla dos cosas: con cuánta biomasa empezó cada parcela, y qué tan rápido creció. Si queremos saber si cambió la velocidad, hay que medir la velocidad.

Y ahí aparece un obstáculo. Las herramientas que ya conoces, la regresión y la prueba estadística, funcionan bien con líneas rectas. Pero el crecimiento temprano no es recto. Se acelera, porque cada gramo que aparece produce más gramos.

Este tema resuelve eso con un truco muy poderoso: en lugar de cambiar la herramienta, se cambia la escala de los datos.

2. La idea central

Cuando cada gramo produce una fracción constante de gramos por día, la biomasa no aumenta sumando: aumenta multiplicando. En tiempos iguales, se multiplica por una misma cantidad. A eso se le llama crecimiento exponencial, y dibujado se ve como una curva que se dispara.

El logaritmo tiene una propiedad muy útil: convierte multiplicaciones en sumas. Entonces, si al logaritmo de la biomasa lo dibujas contra el tiempo, ya no aumenta multiplicando. Aumenta sumando. Y una cantidad que aumenta sumando lo mismo cada día, forma una recta.

Lo mejor es lo que significa esa recta. Su pendiente es justo la tasa relativa de crecimiento. Y para volver a los gramos, se usa la función exponencial, que deshace el logaritmo. De esa misma tasa sale el tiempo de duplicación.

Pero hay un límite. Ningún organismo crece así para siempre. Se acaban la luz, el espacio o los nutrientes. En logaritmos, ese momento se ve con claridad: la recta se empieza a doblar. Sólo el tramo recto es la fase exponencial, y sólo ahí vale esta tasa.

Con eso ya puedes responderle al productor. Calculas una tasa para cada parcela. Cada tasa se vuelve un dato. Y comparas los dos grupos con la misma prueba estadística que ya conoces.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Más adelante hay un recuadro interactivo con dos curvas: una sin límite y una con límite. Cambia de escala normal a logaritmos, y fíjate en cómo se separan.

Después viene un ejemplo resuelto con un cultivo de microalga, que sólo se lee. Ahí se ve también lo mal que queda una recta sin transformar.

Luego siguen los ejercicios en papel. Vas a necesitar una calculadora con las teclas de logaritmo natural y de exponencial. En uno de ellos vas a pedirle a la recta una predicción muy lejana, y el resultado es absurdo. Ésa es la lección.

Al final abres R, transformas los datos de una parcela, y comparas los dos tratamientos con las doce parcelas.

En el siguiente tema se responde lo que quede pendiente aquí: si la curva se dobla, ¿qué ecuación la describe?

De qué trata

El crecimiento temprano forma una curva, y las curvas son difíciles de comparar. Al transformar los datos con logaritmos, esa curva se vuelve una recta, y su pendiente es la tasa de crecimiento. Así se pueden usar la regresión y la prueba estadística de la Unidad II para responder una pregunta de manejo: ¿este tratamiento cambia la velocidad de crecimiento?

Antes · Tema III.1 Tasas de crecimiento y descomposición ¿A qué ritmo crece y a qué ritmo se pierde?

Este tema · III.2 Transformación logarítmica ¿Por qué se analiza en logaritmos?

Después · Tema III.3 Modelos de cultivos ¿Qué curva describe mejor a este cultivo?

Al terminar este tema podrás:

1. Explicar por qué el crecimiento exponencial se vuelve una recta en logaritmos.
2. Obtener la tasa de crecimiento como la pendiente de esa recta.
3. Volver a las unidades originales con la función exponencial.
4. Reconocer hasta dónde vale el modelo exponencial.
5. Demostrar con una prueba estadística si dos tratamientos difieren en su tasa.

Palabras clave crecimiento exponencial logaritmo natural función exponencial linealizar tiempo de duplicación fase exponencial comparación de tasas

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: ¿el abono acelera el crecimiento?

Un productor de trigo aplicó un abono en 6 parcelas y dejó otras 6 como testigo. Midió la biomasa de cada una, del día 14 al 42.

Testigo · día 42 207 g/m² Promedio de 6 parcelas

Abono · día 42 260 g/m² Promedio de 6 parcelas

La pregunta: ¿El abono cambió la velocidad?

Comparar sólo el último día mezcla dos cosas: con cuánto empezó cada parcela y qué tan rápido creció. Para separarlas hay que medir la tasa de cada parcela y comparar esas tasas.

2. Por qué no basta una recta común

La regresión del Tema II.4 ajusta líneas rectas, pero el crecimiento temprano no es recto. Si cada gramo produce más gramos, el aumento se acelera. Una recta sobre esos datos deja residuos en forma de arco, como viste en el Tema II.5. La solución no es abandonar la recta, sino transformar los datos para que sean rectos.

3. Las ideas

3.1 El crecimiento exponencial

Si cada gramo produce una fracción constante de gramos por día, la biomasa sigue la ecuación:

W = W₀ × e^r×t

W₀ es la biomasa inicial, r es la tasa de crecimiento (por día), t es el tiempo, y e vale 2.718. En tiempos iguales, la biomasa se multiplica por una misma cantidad.

3.2 Los logaritmos convierten productos en sumas

Para esto se necesitan dos reglas del logaritmo natural (ln):

Regla	Ejemplo
ln(a × b) = ln a + ln b	ln(2 × 3) = ln 2 + ln 3
ln(ex) = x	ln(e0.5) = 0.5

Si se saca el logaritmo a los dos lados de la ecuación exponencial, aparece una recta:

ln W = ln W₀ + r × t

Es igual a y = a + b × x. Aquí y es ln W, x es t, el intercepto es ln W₀ y la pendiente es r.

Por eso, la pendiente de la recta en logaritmos es la tasa de crecimiento. Es la misma tasa relativa del Tema III.1, ahora estimada con todos los puntos y no sólo con dos.

3.3 De regreso a las unidades originales

La función exp deshace el logaritmo: exp(ln W) = W. Con ella se recupera todo:

• Biomasa inicial: W₀ = exp(intercepto).
• Una predicción: W = exp(intercepto + r × t).
• Tiempo de duplicación: ln 2 ÷ r.

3.4 Lo que el logaritmo deja ver

El mismo cultivo de microalga en dos escalas: una curva que se dispara y una recta.

Compara las dos escalas. Observa qué pasa con una curva que tiene un límite.

Prueba Dos escalas, los mismos datos Las dos curvas parten de la misma biomasa y tienen la misma tasa inicial. Una no tiene límite. La otra se detiene al acercarse a 500. Cambia de escala y mueve la tasa.

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3.5 Hasta dónde vale

Ningún organismo crece de forma exponencial por siempre: se acaban el espacio, la luz o los nutrientes. La fase exponencial es sólo el tramo en el que los puntos forman una recta en logaritmos. Antes de calcular una tasa, se mira la gráfica y se elige ese tramo.

El ciclo completo del trigo en logaritmos: recta sólo al inicio, y después se dobla.

3.6 Comparar tratamientos

Para saber si un tratamiento cambia la tasa, se sigue esta receta:

1. Se calcula una tasa por cada parcela, dentro de la fase exponencial.
2. Cada tasa es ahora un dato del grupo.
3. Se aplica la prueba t del Tema II.3 a esas tasas.

Importa que sean varias parcelas por tratamiento. Muchas mediciones de una sola parcela no dicen cuánto varían las parcelas entre sí.

4. Ejemplo resuelto: un cultivo de microalga

Este ejemplo sólo se lee. Se contaron las células de un cultivo de microalga una vez al día (datos didácticos). Sirve de alimento en acuacultura, y conviene saber en cuánto tiempo se duplica.

Paso 1 · Transformar los datos.

Día	0	1	2	3	4	5	6
Miles de células/mL	20	33	54	90	148	240	400
ln	2.996	3.497	3.989	4.500	4.997	5.481	5.991

Fíjate en que los logaritmos suben casi 0.5 por día: eso ya es una recta.

Paso 2 · Estimar la tasa a mano con el primero y el último. r = (5.991 − 2.996) ÷ 6 = 0.499 por día.

Paso 3 · Ajustar con R.

Script de R

alga <- read.csv("ejemplo_microalga.csv")
recta <- lm(log(celulas_mil_ml) ~ dia, data = alga)
summary(recta)

R contesta en la consola

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.996798   0.004395   681.9 1.29e-13 ***
dia         0.498703   0.001219   409.1 1.66e-12 ***

Residual standard error: 0.00645 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:      1, Adjusted R-squared:      1

Paso 4 · Volver a las unidades originales.

• r = 0.499 por día
• Células iniciales: exp(2.997) = 20.0 mil células/mL
• Duplicación: 0.693 ÷ 0.499 = 1.39 días
• Predicción para el día 4: exp(2.997 + 0.499 × 4) = exp(4.993) = 147 mil células/mL. Se midieron 148.

Paso 5 · Comparar con una recta sin transformar. Una recta sobre los datos originales da R² = 0.86 y dice que el cultivo gana 58.9 mil células/mL por día, todos los días. Su intercepto, −35.9, significa que empezó con células negativas. No describe lo que pasa.

Paso 6 · Escribir la conclusión y su límite.

En estos 6 días, el cultivo creció de forma exponencial, a 0.50 por día, y se duplicó cada 1.39 días. Esta tasa sólo vale mientras el cultivo tenga luz y nutrientes de sobra: el modelo no permite predecir la densidad del día 30.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora con teclas ln y e^x. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Linealizar la parcela T01

Día	14	21	28	35	42
Biomasa (g/m²)	22.4	37.6	67.0	123.9	212.1

1. Calcula el logaritmo de cada biomasa.
2. Estima r con el primero y el último.
3. Calcula el tiempo de duplicación.

Ver la respuesta

1. 3.109, 3.627, 4.205, 4.819 y 5.357.

2. r = (5.357 − 3.109) ÷ 28 = 0.0803 por día.

3. 0.693 ÷ 0.0803 = 8.6 días.

Ejercicio 2 · De la recta a la predicción

R ajustó esta recta para la parcela T01: ln(biomasa) = 1.948 + 0.0813 × día.

1. ¿Cuál es la tasa de crecimiento, con unidades?
2. Predice la biomasa del día 30.
3. Según la recta, W₀ = exp(1.948) = 7.0 g/m² en el día 0. ¿Por qué no debes tomar ese número en serio?
4. Predice la biomasa del día 126. En el Tema III.1, una parcela de trigo llegó a 1 633 g/m² en el día 126. ¿Qué concluyes?

Ver la respuesta

1. 0.0813 por día.

2. exp(1.948 + 0.0813 × 30) = exp(4.387) = 80.4 g/m².

3. Es una extrapolación. Los datos empiezan en el día 14, y en el día 0 el cultivo acaba de sembrarse.

4. exp(1.948 + 0.0813 × 126) = exp(12.19) = unos 197 000 g/m², casi 200 kg por metro cuadrado: imposible. La fase exponencial se termina mucho antes.

Ejercicio 3 · Leer la comparación

Se calculó la tasa de las 12 parcelas. Ésta es la salida de la prueba:

R contesta en la consola

    Welch Two Sample t-test

data:  trc by tratamiento
t = 2.5224, df = 9.8958, p-value = 0.03049
alternative hypothesis: true difference in means between group abono and group testigo is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.001078052 0.017608198
sample estimates:
  mean in group abono mean in group testigo
           0.08953360            0.08019047

1. ¿Cuál es la diferencia de tasas, y a favor de quién?
2. ¿Es significativa? Justifica de dos maneras.
3. Calcula el tiempo de duplicación de cada tratamiento.
4. ¿Por qué el intervalo tan amplio pide cautela?

Ver la respuesta

1. 0.0895 − 0.0802 = 0.0093 por día, a favor del abono.

2. Sí: p = 0.030 es menor que 0.05, y el intervalo no incluye el 0.

3. Abono: 0.693 ÷ 0.0895 = 7.7 días. Testigo: 0.693 ÷ 0.0802 = 8.6 días.

4. Va de 0.0011 a 0.0176 por día: el efecto podría ser casi nulo, o el doble del estimado. Con 6 parcelas por tratamiento, todavía hay mucha incertidumbre.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «La pendiente de ln(W) contra t está en g/m² por día.»
2. «Si la biomasa inicial se duplica, la tasa también se duplica.»
3. «Como R² = 1 en logaritmos, el modelo vale para todo el ciclo.»
4. «Para comparar tratamientos basta medir muchas veces una parcela de cada uno.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. Va en «por día»: los gramos se cancelan.

2. Incorrecta. Sólo sube el intercepto. La recta se traslada hacia arriba con la misma pendiente.

3. Incorrecta. Sólo vale para el tramo que se ajustó.

4. Incorrecta. Se necesitan varias parcelas por tratamiento, para saber cuánto varía la tasa entre parcelas.

6. Práctica en R

Primero vas a transformar una parcela, y después a comparar los dos tratamientos.

Carpeta IBS-MDO-Tema-III2 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_III2.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_III2_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
crecimiento_dos_tratamientos.csv	Biomasa de 12 parcelas en 5 fechas.
biomasa_trigo.csv	El ciclo completo del Tema III.1.
ejemplo_microalga.csv	Los datos del ejemplo resuelto, por si quieres repetirlo.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_III2.Rproj y abre Tema_III2_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 a 4. Compara las dos gráficas de la parcela T01. Comprueba tus logaritmos del Ejercicio 1.
3. Bloques 5 y 6. Obtén la recta y comprueba tu Ejercicio 2.
4. Bloques 7 y 8. Calcula las tasas y compara los tratamientos.
5. Bloque 9. ¿Los grupos empezaron con una biomasa parecida? ¿Por qué importa?
6. Bloque 10. ¿En qué día deja de ser recta la gráfica?
7. Escribe la conclusión de la comparación, con la diferencia, el intervalo, p y un límite.
8. Bloque 11. Borra el # de cada línea, ejecútala, lee lo que contesta R y corrige. En la última, si la consola muestra +, presiona Esc.

Ver las respuestas de la práctica

Bloque 5. R da 1.94807 y 0.08126: ln(biomasa) = 1.948 + 0.0813 × día.

Bloque 6. 80.4 g/m² y 8.53 días. Con todos los puntos, la duplicación sale un poco distinta de la que estimaste con dos.

Bloque 7. Tasas: testigo 0.0803, 0.0882, 0.0798, 0.0689, 0.0857, 0.0783. Abono 0.0823, 0.0918, 0.0818, 0.0912, 0.0932, 0.0968.

Bloque 8. t = 2.52; p = 0.030; IC 95 % de abono − testigo: 0.0011 a 0.0176 por día.

Lo que dibuja R en el Bloque 8.

Bloque 9. p = 0.53: no hay evidencia de que los grupos empezaran distinto. Importa porque, si no, la biomasa final también reflejaría el arranque.

Bloque 10. Es casi recta hasta el día 56 y luego empieza a doblarse.

Conclusión de ejemplo: «Las parcelas con abono crecieron en promedio a 0.0895 por día y las testigo a 0.0802 por día, una diferencia de 0.0093 por día (IC 95 %: 0.0011 a 0.0176; p = 0.03; 6 parcelas por grupo). Eso reduce la duplicación de 8.6 a 7.7 días. Sólo aplica a la fase temprana, del día 14 al 42, y el intervalo amplio pide repetir el ensayo con más parcelas.»

Bloque 11.

• datos$trc <- (log(dia_42) - log(dia_14)) / 28 no dice de qué tabla son las columnas. Debe ser datos$dia_42 y datos$dia_14.
• t.test(trc ~ tratamiento) no dice en qué tabla buscar. Falta data = datos.
• exp(log(biomasa) tiene un paréntesis sin cerrar. R se queda esperando y muestra +. Se presiona Esc, y se escribe exp(log(biomasa)).

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
+ en la consola	La línea está incompleta, y R espera el resto.	Presiona Esc y revisa los paréntesis.
objeto 'dia_42' no encontrado	Falta decir de qué tabla es la columna.	Escribe datos$dia_42.
-Inf o NaN	Calculaste el logaritmo de 0 o de un negativo.	Revisa los datos.
grouping factor must have exactly 2 levels	La columna a la derecha de ~ no tiene dos grupos.	Revisa la fórmula y table(datos$tratamiento).

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. ¿Qué significa la pendiente de ln(biomasa) contra días?

1. Los gramos ganados por día
2. La tasa relativa de crecimiento
3. La biomasa inicial

Al sacar logaritmo, ln W = ln W₀ + r × t. La pendiente es r.

2. Una recta tiene ln(W) = 2 + 0.1 × t. ¿Cuánto vale W en t = 10?

1. exp(3) = 20.1
2. 3
3. 2 + 0.1 = 2.1

2 + 0.1 × 10 = 3 es el logaritmo. Hay que deshacerlo con exp.

3. En logaritmos, una curva es recta al inicio y después se aplana. ¿Qué significa?

1. Hay un error en los datos
2. La tasa fue subiendo
3. Se terminó la fase exponencial

Pendiente menor quiere decir tasa menor: algo empezó a limitar el crecimiento.

4. ¿Cuál es el dato que entra en la prueba t para comparar tasas de crecimiento?

1. Cada medición de biomasa
2. La tasa de cada parcela
3. El promedio de todas las parcelas

Cada parcela aporta una tasa. Así la prueba compara cuánto difieren los grupos frente a cuánto varían las parcelas.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
c(14, 21, 28)	Junta números en una lista	Escribirlos en una columna
log(x)	Logaritmo natural	LN(x)
exp(x)	Deshace el logaritmo	EXP(x)
lm(log(y) ~ x, data = d)	Recta en logaritmos	PENDIENTE con columna de LN
datos$trc <- (…) / 28	Calcula una columna entera	Arrastrar una fórmula