Dinámica hidráulica

Balance de un tanque, caudal y ley de Darcy

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad IV

Tema IV.1 · Unidad IV · Simulación de biosistemas

Dinámica hidráulica

Balance de un tanque, caudal y ley de Darcy

¿Cuánto tarda el agua en pasar por el filtro?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

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1. El problema

En esta unidad vas a terminar construyendo un filtro de agua con tus manos, y lo vas a comparar con una simulación. Antes de armarlo, hay una pregunta básica: si le pones agua encima a una columna de arena, ¿cuánto tarda en pasar?

Podrías pensar que basta una regla de tres. Si salen dos mililitros por segundo, seiscientos cuarenta mililitros tardan unos trescientos segundos. Pero no es así. Conforme baja el nivel, hay menos agua empujando, y el agua sale cada vez más despacio.

Fíjate en lo que pasa: el nivel depende del caudal, y el caudal depende del nivel. Es un sistema dinámico, igual que los cultivos de la unidad anterior. Y se resuelve de la misma manera.

2. La idea central

Toda esta unidad se apoya en un solo principio, que se llama balance: el cambio en lo que hay guardado es lo que entra, menos lo que sale. Vale para agua, para sustancias y para calor. Y ya lo conoces: es la misma idea de la tasa neta.

Piensa en un tanque con un agujero. Entra un chorro constante. Al principio hay poca agua y sale poca, así que el nivel sube. Pero entre más alto, más sale. Llega un momento en que lo que sale iguala a lo que entra, y el nivel se queda fijo. Ése es el equilibrio. Se parece a la capacidad máxima de un cultivo: el sistema lo busca solo.

Hay un número que dice qué tan rápido llega: el tiempo característico. En ese tiempo, el sistema recorre cerca de dos tercios de lo que le falta. Y en tres veces ese tiempo, ya casi llegó.

Para la arena hace falta una ley más: la de Darcy, que salió justo de medir filtros de arena, en mil ochocientos cincuenta y seis. Dice que el caudal es proporcional a la conductividad de la arena, a su área y a la carga de agua, e inversamente proporcional a su espesor.

La conductividad es el parámetro difícil, porque depende de tu arena, de cómo la acomodaste y de qué tan tapada está. Las tablas sólo dan un orden de magnitud. Por eso se calibra: simulas, comparas con lo que mediste, ajustas, y repites.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Más adelante hay un recuadro interactivo donde mueves la conductividad, el espesor de arena y el agua inicial. Fíjate cuál de ellos pesa más en el tiempo.

Después viene un ejemplo resuelto con un tanque de riego, que sólo se lee. Ahí verás cómo se comprueba una simulación con la teoría.

Luego siguen los ejercicios en papel. En uno de ellos vas a comprobar que la regla de tres se queda corta.

Al final abres R, simulas el filtro, y lo comparas con mediciones. Tu trabajo es encontrar el valor de la conductividad que mejor coincide. Es exactamente lo que vas a hacer después con tu propio filtro.

Este tema responde cuánta agua pasa. El siguiente responde qué tan limpia sale.

De qué trata

Hasta ahora se simuló biomasa. Esta unidad simula agua, sustancias y calor, con la misma regla: lo de mañana es lo de hoy, más lo que entra, menos lo que sale. Todo converge en un filtro de agua que se construye y se mide en el Tema IV.4. Este tema responde la primera pregunta de su diseño: ¿cuánta agua pasa, y qué tan rápido?

Antes · Tema III.5 Interacción de dos especies ¿Qué le hace la maleza al trigo?

Este tema · IV.1 Dinámica hidráulica ¿Cuánto tarda el agua en pasar por el filtro?

Después · Tema IV.2 Concentración de variables fisicoquímicas ¿Cuántas partículas salen del filtro?

Al terminar este tema podrás:

1. Escribir el balance de agua de un tanque y calcular su equilibrio.
2. Calcular un caudal con la ley de Darcy.
3. Simular el nivel de agua de un filtro en R.
4. Calibrar un parámetro comparando la simulación contra mediciones.

Palabras clave balance de masa caudal equilibrio tiempo característico ley de Darcy conductividad hidráulica carga hidráulica calibración

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: un filtro lento o rápido

Vas a construir un filtro con una botella: una columna de arena, con agua encima. Antes de armarlo, quieres saber:

Arena de 20 cm, con 10 cm de agua encima ¿Cuánto caudal da? En mL/s

Hasta que el agua llegue a la arena ¿Cuánto tarda? En segundos

Cuando se tape con el uso ¿Cuánto se alarga? Un escenario

2. Por qué no basta una regla de tres

Si por un filtro salen 2 mL/s, parecería que 640 mL tardan 320 s. Pero el caudal no es constante: conforme baja el nivel, hay menos carga que empuje, y el agua sale más despacio. El nivel depende del caudal, y el caudal depende del nivel. Por eso es un problema dinámico.

3. Las ideas

3.1 El balance

Todo parte de un principio físico: el agua no aparece ni desaparece.

cambio en el almacenamiento = lo que entra − lo que sale

Vale para agua, para sustancias y para calor. Es el mismo principio de la tasa neta del Tema III.1.

En un tanque de área A y nivel h, el volumen es A × h. Si el agua entra con caudal Q_e y sale con caudal Q_s, entonces:

h_siguiente = h + (Q_e − Q_s) ÷ A × paso

Q va en volumen por tiempo, como m³/min o mL/s. Se usa la misma regla paso a paso de la Unidad III.

3.2 Salida que depende del nivel: el equilibrio

En un tanque con un orificio, entre más agua hay, más sale. El modelo más simple es Q_s = c × h. Si la entrada es constante:

h* = Q_e ÷ c τ = A ÷ c

h* es el nivel de equilibrio, donde lo que sale iguala a lo que entra. τ es el tiempo característico: en un tiempo τ, el sistema recorre cerca de 63 % de lo que le falta para llegar al equilibrio. En 3τ, cerca de 95 %.

El equilibrio es como K en el crecimiento: el sistema lo busca solo. Ojo: h* no depende de A. Un tanque más grande llega al mismo nivel, sólo que tarda más.

El nivel se estabiliza donde la salida iguala a la entrada. Con más entrada, llega más alto.

3.3 La ley de Darcy

En un medio poroso, como la arena, el agua pasa por poros muy pequeños y la fricción controla el flujo. Darcy encontró en 1856 esta relación, midiendo en filtros de arena:

Q = K × A × H ÷ L

Q: caudal (cm³/s = mL/s). K: conductividad hidráulica (cm/s), que depende del material. A: área de la sección (cm²). H: carga, la diferencia de altura de agua entre la entrada y la salida (cm). L: espesor del material (cm).

Material	K aproximada (cm/s)
Grava	0.1 a 100
Arena gruesa	0.01 a 1
Arena fina	0.001 a 0.01
Limo	0.00001 a 0.001

Son órdenes de magnitud. La K de tu arena hay que medirla: por eso se calibra.

3.4 El filtro como sistema dinámico

En el filtro, con salida libre en la base, la carga es la altura del agua sobre la arena, más el espesor de arena: H = h + L. Como el agua baja dentro de la misma sección A, la A se cancela:

h_siguiente = h − K × (h + L) ÷ L × paso

Este sistema sí tiene fórmula: el tiempo para que h llegue a 0 es t = (L ÷ K) × ln((h₀ + L) ÷ L), donde h₀ es el nivel inicial.

Prueba El agua en el filtro Filtro de 64 cm² de sección. Mueve K, el espesor de arena y el agua inicial. ¿Qué pesa más en el tiempo de paso?

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3.5 Calibrar

Calibrar es ajustar un parámetro difícil de medir hasta que la simulación coincida con las mediciones. Con K: se simula, se compara con lo medido usando el RMSE del Tema III.3, se cambia K, y se repite. Después, conviene comprobar el modelo con otra medición, porque si se calibra y se evalúa con los mismos datos, casi siempre parece que ajusta bien.

4. Ejemplo resuelto: un tanque de riego

Este ejemplo sólo se lee. Un tanque de A = 2 m² recibe Q_e = 0.03 m³/min y descarga con Q_s = 0.02 × h. Empieza en h = 0.2 m (datos didácticos).

Paso 1 · Calcular el equilibrio y el tiempo característico.

• h* = 0.03 ÷ 0.02 = 1.5 m
• τ = 2 ÷ 0.02 = 100 min

Paso 2 · Dar dos pasos a mano, cada uno de 5 min.

• h = 0.2 + (0.03 − 0.02 × 0.2) ÷ 2 × 5 = 0.2 + 0.065 = 0.265 m
• h = 0.265 + (0.03 − 0.02 × 0.265) ÷ 2 × 5 = 0.265 + 0.062 = 0.327 m

Paso 3 · Simular en R.

Script de R

tiempo <- seq(0, 500, by = 5)
h <- numeric(length(tiempo))
h[1] <- 0.2
for (i in 2:length(tiempo)) {
  h[i] <- h[i - 1] + (0.03 - 0.02 * h[i - 1]) / 2 * 5
}

Tiempo (min)	0	5	10	50	100	200	300	500
Nivel (m)	0.200	0.265	0.327	0.722	1.034	1.333	1.440	1.492

Paso 4 · Comprobar con la teoría. Le faltaban 1.3 m para el equilibrio. En τ = 100 min debe recorrer 63 % de esa distancia: 0.2 + 0.63 × 1.3 = 1.02 m. La simulación da 1.03 m. Coinciden.

Paso 5 · Interpretar.

El tanque se estabiliza en 1.5 m, y tarda unos 300 min en acercarse (3τ). Si el borde está a 2 m, no se desborda con esta entrada. Pero con 0.05 m³/min el equilibrio sube a 2.5 m y se desbordaría. El modelo supone que la descarga es proporcional al nivel: un orificio real se parece más a √h, y esto hay que comprobarlo midiendo.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Darcy

Una columna de arena de A = 100 cm², L = 25 cm y K = 0.05 cm/s tiene 15 cm de agua encima.

1. Calcula la carga H y el caudal.
2. ¿Cuánto vale el caudal cuando el agua ya llegó a la superficie de la arena (h = 0)?
3. Si el filtro se tapa y K baja a 0.005 cm/s, ¿qué caudal da con los 15 cm de agua?

Ver la respuesta

1. H = 15 + 25 = 40 cm. Q = 0.05 × 100 × 40 ÷ 25 = 8 mL/s.

2. H = 25 cm. Q = 0.05 × 100 × 25 ÷ 25 = 5 mL/s.

3. Q = 0.005 × 100 × 40 ÷ 25 = 0.8 mL/s. Al bajar K diez veces, el caudal baja diez veces.

Ejercicio 2 · El filtro paso a paso

Con K = 0.02 cm/s, L = 20 cm, h = 10 cm, y un paso de 10 s:

1. Calcula h después de 10 s.
2. Calcula h después de 20 s.
3. Con la fórmula, calcula cuánto tarda en llegar a h = 0.
4. Calcula el caudal inicial, con A = 64 cm². ¿Qué volumen de agua hay encima de la arena?

Ver la respuesta

1. 10 − 0.02 × 30 ÷ 20 × 10 = 10 − 0.30 = 9.70 cm.

2. 9.70 − 0.02 × 29.70 ÷ 20 × 10 = 9.70 − 0.297 = 9.40 cm.

3. (20 ÷ 0.02) × ln(30 ÷ 20) = 1 000 × 0.405 = 405 s.

4. Q = 0.02 × 64 × 30 ÷ 20 = 1.92 mL/s. Volumen: 10 × 64 = 640 mL. A caudal constante, tardaría 640 ÷ 1.92 = 333 s: la regla de tres de la sección 2 se queda corta.

Ejercicio 3 · Tanque

Un tanque de A = 4 m² descarga con Q_s = 0.05 × h, y recibe Q_e = 0.06 m³/min.

1. Calcula el equilibrio y el tiempo característico.
2. ¿Qué pasa con el equilibrio si el área se duplica? ¿Y con τ?
3. ¿Cuál es la entrada máxima para que no rebase 2 m?

Ver la respuesta

1. h* = 0.06 ÷ 0.05 = 1.2 m. τ = 4 ÷ 0.05 = 80 min.

2. El equilibrio no cambia. τ se duplica: 160 min.

3. Q_e = 0.05 × 2 = 0.10 m³/min.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «Duplicar el espesor de arena reduce el caudal a la mitad, siempre.»
2. «Un valor de K calibrado para una arena sirve para cualquier arena.»
3. «El equilibrio del tanque depende del nivel inicial.»
4. «Si la simulación coincide con los datos usados para calibrarla, el modelo ya está probado.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. Con h fijo, H = h + L también crece con L, de modo que el caudal baja menos que a la mitad. Sólo sería exacto si la carga fuera constante.

2. Incorrecta. K depende del tamaño de grano, del acomodo y de qué tan tapada esté.

3. Incorrecta. Sólo depende de Q_e y de c. El nivel inicial cambia el camino, no el destino.

4. Incorrecta. Falta compararla contra una medición que no se usó para calibrar.

6. Práctica en R

Ahora vas a simular el filtro, compararlo con una medición y calibrar K.

Carpeta IBS-MDO-Tema-IV1 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_IV1.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_IV1_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
filtro_medido.csv	Nivel medido en un filtro, cada 60 s.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_IV1.Rproj y abre Tema_IV1_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 y 2. Comprueba el caudal de tu Ejercicio 2.
3. Bloques 3 a 5. Simula y compara el tiempo con la fórmula. ¿Por qué no da exactamente igual?
4. Bloques 6 y 7. Agrega los puntos medidos. ¿El filtro real es más rápido o más lento?
5. Bloque 8. Calibra K, probando varios valores. Anota el error de cada uno.
6. Bloque 9. Escribe tú el escenario del filtro tapado.
7. Bloque 10. Borra el # de cada línea, ejecútala, lee lo que contesta R y corrige.

Ver las respuestas de la práctica

Bloque 2. 1.92 mL/s.

Bloque 5. La simulación da 410 s, y la fórmula, 405 s. La simulación sólo revisa el nivel cada 10 s, así que no puede dar 405.

Bloques 6 y 7. Los puntos quedan arriba de la curva: el filtro real es más lento. RMSE con K = 0.02: 1.27 cm.

Bloque 8.

K (cm/s)	0.012	0.014	0.015	0.016	0.018	0.020
RMSE (cm)	1.09	0.37	0.11	0.33	0.85	1.27

El mejor valor es cercano a K = 0.015 cm/s, que corresponde a arena gruesa o media.

Línea continua: K = 0.02 cm/s. Punteada: K = 0.015 cm/s. Los puntos son lo medido.

Bloque 9. Con K = 0.0075 cm/s, tarda 1 080 s, el doble que con K = 0.015 cm/s, que tarda 540 s. El tiempo es inversamente proporcional a K.

Bloque 10.

• points(nivel_cm ~ tiempo_s) no dice en qué tabla buscar. Falta data = medido.
• medido$nivel_cm - h sólo da un aviso: las dos columnas tienen distinto largo, y R repite la más corta sin que tenga sentido. Hay que usar simulado, que tiene los mismos tiempos.
• h_inicial no existe. El nombre es h_ini.

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
objeto 'K' no encontrado	No has creado los parámetros.	Ejecuta el Bloque 1.
longitud de objeto mayor no es múltiplo…	Restaste columnas de distinto largo.	Usa los valores que corresponden a los mismos tiempos.
NA en el tiempo	El nivel nunca llegó a 0 dentro de la simulación.	Alarga tiempo en el Bloque 3.
plot.new has not been called yet	points() necesita una gráfica abierta.	Ejecuta primero la línea de plot().

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. ¿Por qué baja cada vez más despacio el nivel del filtro?

1. Porque el agua se evapora
2. Porque al bajar el nivel, baja la carga, y con ella el caudal
3. Porque la arena se satura

Según Darcy, el caudal es proporcional a la carga H.

2. Un tanque tiene Q_e = 0.02 m³/min y c = 0.01 m²/min. ¿Cuál es su nivel de equilibrio?

1. 0.5 m
2. 1 m
3. 2 m

h* = 0.02 ÷ 0.01 = 2 m.

3. ¿Qué significa calibrar K?

1. Ajustarla para que la simulación coincida con las mediciones
2. Calcularla con la fórmula de Darcy sin medir nada
3. Hacer que sea igual a 1

Se usa cuando el parámetro es difícil de medir directamente.

4. Si K baja a la mitad, ¿cuánto tarda ahora el agua en llegar a la arena?

1. La mitad
2. El doble
3. Lo mismo

El tiempo es proporcional a L ÷ K.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
max(0, x)	El mayor entre 0 y x: evita negativos	MAX(0, x)
tiempo[h == 0][1]	El primer tiempo en que se cumple la condición	INDICE y COINCIDIR
a %in% b	Marca los valores de a que están en b	CONTAR.SI
points(y ~ x, data = d)	Agrega puntos a la gráfica abierta	Agregar serie