Modelos de cultivos

Exponencial, logístico y Gompertz

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad III

Tema III.3 · Unidad III · Dinámica de biosistemas

Modelos de cultivos

Exponencial, logístico y Gompertz

¿Qué curva describe mejor a este cultivo?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

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1. El problema

En el tema anterior le pediste una predicción lejana al modelo exponencial, y dio un absurdo: casi doscientos kilos de biomasa por metro cuadrado.

El modelo no falló por estar mal calculado. Falló porque su supuesto dejó de cumplirse: supone que nada limita al cultivo. Y en un campo real se acaban la luz, el agua y el espacio.

Si miras los muestreos del trigo, ves una forma muy común en biología: una letra ese acostada. Empieza lento, se acelera, pasa por un momento de máxima velocidad, y luego se frena hasta casi detenerse.

Entonces, necesitamos una ecuación que haga eso. ¿Cuál? De eso trata este tema. Y no es sólo buscar una curva que pase cerca de los puntos. Queremos una cuyos parámetros signifiquen algo para quien maneja el cultivo.

2. La idea central

Son tres modelos, y cada uno hace un supuesto distinto.

El exponencial supone que no hay freno. Sólo sirve al inicio.

El logístico agrega un límite, que se llama capacidad máxima, y se escribe con la letra ka. Es lo más que el sistema puede sostener. Conforme la biomasa se acerca a ese límite, el crecimiento se frena. Tiene otro parámetro muy útil: el punto de inflexión, que es el día en que el cultivo crece más rápido. En el logístico, eso pasa justo cuando va a la mitad de su máximo. Por eso su curva es simétrica.

El de Gompertz también tiene un límite, pero su freno actúa desde el principio. Su punto de inflexión llega antes, cerca de un treinta y siete por ciento del máximo, y después se acerca al límite con más calma. Por eso no es simétrica.

¿Cómo se decide entre ellos? Con una medida del error, que se llama RMSE. Es como el error típico que ya conoces: se restan los valores observados y los predichos, se elevan al cuadrado, se promedian, y se saca raíz. Entre más pequeño, mejor.

Pero ese número no decide solo. También cuenta que los parámetros tengan sentido, que los residuos no tengan un patrón, y para qué quieres el modelo. Y siempre queda claro lo que no dice: el mejor de estos tres no es la verdad sobre el trigo. Es la mejor descripción, entre tres, de estos datos.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás los tres modelos sobre los muestreos del trigo, en una misma figura.

Más adelante hay un recuadro interactivo donde mueves los parámetros con tus propias manos. Intenta que el error baje de cien. Es la mejor manera de entender qué hace cada parámetro.

Después viene un ejemplo resuelto con la altura de un lote de maíz, que sólo se lee.

Luego siguen los ejercicios en papel. Vas a calcular a mano un mismo día con los tres modelos. Es más fácil de lo que parece: se resuelve de adentro hacia afuera.

Al final abres R, dibujas las tres curvas y comparas sus errores. Hay una línea de código con un error que no marca ningún aviso. Ten cuidado con ella.

En estos modelos, todo depende de los parámetros. En el siguiente tema vas a preguntarte qué pasa si cambian.

De qué trata

El crecimiento de un cultivo no es una recta ni una curva que se dispara: suele formar una S. Tres ecuaciones clásicas describen ese crecimiento: el modelo exponencial, el logístico y el de Gompertz. Cada parámetro tiene un significado biológico, y con una medida de error se puede comparar cuál ajusta mejor.

Antes · Tema III.2 Transformación logarítmica ¿Por qué se analiza en logaritmos?

Este tema · III.3 Modelos de cultivos ¿Qué curva describe mejor a este cultivo?

Después · Tema III.4 Simulación de cultivos ¿Qué pasa si cambio la tasa?

Al terminar este tema podrás:

1. Explicar el supuesto detrás de cada modelo de crecimiento.
2. Interpretar los parámetros K, r y el punto de inflexión.
3. Calcular a mano un valor de cada modelo.
4. Comparar ajustes con el error RMSE.
5. Justificar qué modelo usar, según el dato y el propósito.

Palabras clave modelo exponencial modelo logístico modelo de Gompertz capacidad máxima K punto de inflexión curva sigmoide RMSE

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: una curva que se aplana

En el Tema III.2 viste que el modelo exponencial predice cerca de 200 kg/m² de biomasa de trigo al final del ciclo, lo cual es imposible. Los muestreos reales cuentan otra historia:

Día 42 253 g/m² Crecimiento acelerado

Día 70 992 g/m² Crecimiento más rápido

Día 112 1 803 g/m² Casi detenido

Hace falta una ecuación que arranque como exponencial y luego se frene. ¿Cuál?

2. Por qué no basta un polinomio

Se podría ajustar cualquier curva flexible, como un polinomio, y los números quedarían cerca. Pero un polinomio no sabe que un cultivo no puede crecer sin fin, ni que la biomasa no puede ser negativa, y sus coeficientes no significan nada biológico. Un buen modelo parte de un supuesto sobre el proceso, y sus parámetros se pueden interpretar.

3. Las ideas

3.1 Exponencial: sin freno

W = W₀ × e^r×t

Supuesto: la tasa relativa es constante, y no hay nada que limite el crecimiento. Sirve sólo para el inicio.

3.2 Logístico: un freno por el espacio

Se añade un límite K, la capacidad máxima: lo más que el sistema puede sostener. Conforme W se acerca a K, la tasa se reduce.

W = K ÷ (1 + e^{−r×(t−tm)})

K: valor máximo, en unidades de W. r: tasa, por día. tm: día del punto de inflexión.

El punto de inflexión es el día en que el crecimiento absoluto es máximo. En el logístico ocurre justo cuando W = K ÷ 2, y la curva es simétrica. Su crecimiento máximo es r × K ÷ 4.

3.3 Gompertz: un freno que aparece antes

W = K × exp(−e^{−b×(t−tm)})

K: valor máximo. b: tasa, por día. tm: día del punto de inflexión.

Aquí la tasa relativa va bajando de manera exponencial desde el principio, y la curva no es simétrica: la inflexión llega cuando W = K ÷ e, cerca de 37 % de K. Después se acerca a K más despacio. Su crecimiento máximo es b × K ÷ e.

Se usa mucho cuando la tasa relativa decae con la edad, como en el crecimiento de muchos animales y de algunos cultivos.

3.4 Comparar las tres

Los tres modelos sobre los muestreos del trigo. El exponencial se sale de la gráfica. Los otros dos siguen los datos.

Para comparar ajustes se usa el error RMSE (raíz del error cuadrático medio). Se parece al error típico del Tema II.5, y va en las unidades de W:

RMSE = √( promedio de (observado − predicho)² )

Entre más pequeño, mejor. Sólo sirve para comparar modelos que usan los mismos datos.

El RMSE más bajo no decide solo. También cuentan el sentido biológico, si los residuos tienen un patrón y para qué se quiere el modelo: si sólo interesa el inicio del ciclo, el exponencial puede bastar.

3.5 Parámetros: ¿de dónde salen?

En una recta, R calcula los parámetros con lm(). En estas curvas se usa un método que busca por aproximaciones, los mínimos cuadrados no lineales. No se ve en este curso: los parámetros de este tema ya vienen ajustados. Lo importante aquí es interpretarlos y evaluar el ajuste. Prueba a encontrarlos a mano.

Prueba Ajusta la curva Los puntos son los muestreos del trigo. Mueve los parámetros hasta que el error baje de 100, e intenta explicar qué hace cada uno.

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4. Ejemplo resuelto: altura de maíz

Este ejemplo sólo se lee. Se midió la altura de un lote de maíz cada 10 días (datos didácticos). Los parámetros del modelo logístico ya están ajustados: K = 240 cm, r = 0.11 por día, tm = 48 días.

Paso 1 · Interpretar los parámetros.

Parámetro	Valor	Qué dice
K	240 cm	Altura final del lote
tm	48 días	Día de crecimiento más rápido, con la mitad de la altura final
r	0.11 por día	Qué tan empinada es la S

Paso 2 · Calcular un valor a mano. En el día 50:

• Exponente: −0.11 × (50 − 48) = −0.22
• e^−0.22 = 0.803
• W = 240 ÷ (1 + 0.803) = 240 ÷ 1.803 = 133.1 cm. Se midieron 134 cm.

Paso 3 · Calcular el crecimiento máximo. r × K ÷ 4 = 0.11 × 240 ÷ 4 = 6.6 cm por día, en el día 48, con 120 cm de altura.

Paso 4 · Calcular todas las predicciones y el error en R.

Script de R

maiz <- read.csv("ejemplo_maiz.csv")
maiz$predicho <- 240 / (1 + exp(-0.11 * (maiz$dia - 48)))
sqrt(mean((maiz$altura_cm - maiz$predicho)^2))
plot(altura_cm ~ dia, data = maiz)
lines(predicho ~ dia, data = maiz)

R contesta en la consola

[1] 1.835501

Lo que dibuja R: la curva logística pasa muy cerca de los puntos.

Paso 5 · Escribir la conclusión.

El modelo logístico describe bien la altura de este lote: se equivoca en promedio unos 1.8 cm, y sus parámetros tienen sentido. El lote llegaría a 240 cm, y crece más rápido cerca del día 48, a 6.6 cm por día. Es un buen momento para asegurar agua y nutrientes. El modelo describe este lote, y no permite afirmar lo mismo de otra variedad o de otro ciclo.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora con teclas e^x y ln. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Calcular los tres modelos

Para el trigo, calcula la biomasa del día 70 con cada modelo. Se midieron 992 g/m².

1. Exponencial: W = 14 × e^0.0687×t
2. Logístico: K = 1 740, r = 0.0725, tm = 66
3. Gompertz: K = 1 835, b = 0.0445, tm = 58.5
4. ¿Cuál se aleja más?

Ver la respuesta

1. 14 × e^4.809 = 14 × 122.6 = 1 717 g/m².

2. e^−0.0725×4 = e^−0.29 = 0.748. 1 740 ÷ 1.748 = 995 g/m².

3. e^{−0.0445×11.5} = e^−0.512 = 0.599. e^−0.599 = 0.549. 1 835 × 0.549 = 1 008 g/m².

4. El exponencial: se pasa por unos 725 g/m². En el día 70 ya no aplica.

Ejercicio 2 · Interpretar los parámetros

Con los parámetros del Ejercicio 1:

1. ¿En qué día crece más rápido el trigo, según cada modelo?
2. ¿Cuánta biomasa hay en ese momento?
3. ¿A qué tasa crece en ese momento?
4. Según el logístico, ¿cuánto rendiría la parcela al final, en biomasa?

Ver la respuesta

1. Logístico: día 66. Gompertz: día 58.5.

2. Logístico: 1 740 ÷ 2 = 870 g/m². Gompertz: 1 835 ÷ 2.718 = 675 g/m².

3. Logístico: 0.0725 × 1 740 ÷ 4 = 31.5 g/m² por día. Gompertz: 0.0445 × 1 835 ÷ 2.718 = 30.0 g/m² por día. La mayor TCA que calculaste en el Tema III.1 fue 31.0.

4. Se acerca a K = 1 740 g/m².

Ejercicio 3 · Un RMSE a mano

Con el modelo logístico del maíz:

Día	30	50	70
Observado (cm)	29	134	222
Predicho (cm)	29.1	133.1	220.4

1. Calcula los tres errores.
2. Calcula el RMSE de estos tres puntos.
3. ¿Por qué sale menor que el 1.84 de los nueve puntos?

Ver la respuesta

1. −0.1, 0.9 y 1.6 cm.

2. Cuadrados: 0.01, 0.81 y 2.56. Promedio: 3.38 ÷ 3 = 1.13. Raíz: 1.06 cm.

3. Sólo se tomaron tres puntos. Faltan otros con errores mayores, como el del día 40 (67 contra 70.4) o el del día 90 (234 contra 237.7).

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «Un RMSE de 53 en biomasa es mejor que un RMSE de 1.8 en altura, porque se trata de modelos más completos.»
2. «Como el logístico tiene el menor RMSE, es la verdad sobre cómo crece el trigo.»
3. «K es la biomasa máxima que alcanzó una parcela.»
4. «En el punto de inflexión, el cultivo deja de crecer.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. No se comparan: tienen distintas unidades y distintos datos. El RMSE sirve para comparar modelos sobre los mismos datos.

2. Incorrecta. Sólo es el que mejor describe estos 9 muestreos, entre los tres probados.

3. Incorrecta. Es un parámetro del modelo: el valor al que tiende la curva. Una parcela puede quedar arriba, como la del día 112, con 1 803 g/m².

4. Incorrecta. Ahí crece más rápido. Después sigue creciendo, cada vez más despacio.

6. Práctica en R

Ahora vas a dibujar los tres modelos sobre los datos del trigo y a comparar sus errores.

Carpeta IBS-MDO-Tema-III3 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_III3.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_III3_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
biomasa_trigo.csv	Los 9 muestreos de biomasa.
ejemplo_maiz.csv	Los datos del ejemplo resuelto, por si quieres repetirlo.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_III3.Rproj y abre Tema_III3_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 a 4. Dibuja los tres modelos sobre la misma gráfica. ¿Hasta qué día sirve el exponencial?
3. Bloque 5. Comprueba tus cuentas del Ejercicio 1.
4. Bloques 6 y 7. Calcula el RMSE de los tres. Completa la línea de Gompertz.
5. Bloque 8. Cambia K a 1400, y luego prueba con otros valores. ¿Con qué valor baja más el error?
6. Explica: ¿con cuál modelo te quedas para el trigo? Da al menos dos razones.
7. Bloque 9. Borra el # de cada línea, ejecútala y lee lo que contesta R. Cuidado: una de ellas no marca error.

Ver las respuestas de la práctica

Lo que dibuja R en los Bloques 1 a 4.

Bloque 5. Valores del modelo, en g/m²:

Día	Observado	Exponencial	Logístico	Gompertz
14	37	37	39	1
28	93	96	104	38
42	253	251	260	228
56	558	656	568	600
70	992	1 717	995	1 008
84	1 341	4 491	1 369	1 330
98	1 536	11 751	1 584	1 544
112	1 803	30 744	1 680	1 673
126	1 633	80 439	1 718	1 746

El exponencial sigue los datos hasta el día 42, y después se dispara.

Bloques 6 y 7. RMSE: logístico 53 g/m², Gompertz 64 g/m², exponencial 28 211 g/m².

Bloque 8. Con K = 1400 el error sube a unos 221 g/m²: la curva queda demasiado abajo. El error más bajo queda cerca de K = 1740.

Elegir modelo. El logístico: tiene menor error, sus parámetros tienen sentido, y predice mejor el inicio del ciclo, donde Gompertz casi da 0. Pero la diferencia con Gompertz es pequeña y sólo hay 9 muestreos de una parcela: no alcanza para decir que siempre es mejor.

Bloque 9.

• k / (1 + …) usa k minúscula. El nombre correcto es K.
• lines(logistico ~ dia) no dice en qué tabla buscar. Falta data = trigo.
• sqrt(mean(trigo$biomasa_g_m2 - trigo$logistico)^2) no marca error, pero está mal: primero promedia y después eleva al cuadrado. Los errores positivos y negativos se cancelan. Debe ser sqrt(mean((trigo$biomasa_g_m2 - trigo$logistico)^2)).

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
objeto 'k' no encontrado	R distingue mayúsculas de minúsculas.	Escribe K.
plot.new has not been called yet	lines() necesita una gráfica abierta.	Ejecuta primero la línea de plot().
La curva no se ve	Quedó fuera del eje.	Revisa ylim en plot().
+ en la consola	Falta cerrar un paréntesis.	Presiona Esc y revisa la línea.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. ¿Qué agrega el modelo logístico respecto al exponencial?

1. Una tasa negativa
2. Más datos
3. Un límite, K

Con K, la tasa se reduce conforme W se acerca al máximo.

2. En un logístico con K = 1 000, ¿cuánta biomasa hay en el punto de inflexión?

1. 500
2. 1 000
3. 368

En el logístico, la inflexión ocurre en K ÷ 2. El valor de 368 corresponde a Gompertz (K ÷ e).

3. ¿Qué pasa con la curva logística si sólo aumenta tm?

1. Llega más alto
2. Se recorre hacia la derecha
3. Se vuelve más empinada

tm es el día de inflexión: si aumenta, todo ocurre más tarde, con la misma altura y la misma pendiente.

4. Dos modelos ajustados a los mismos datos tienen RMSE de 53 y 64. ¿Qué concluyes?

1. El de 53 es el modelo verdadero
2. El de 53 describe un poco mejor estos datos
3. Son iguales

Sólo compara el ajuste sobre esos datos. Hay que revisar también los residuos y el sentido biológico.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
plot(y ~ x, data = d, ylim = c(0, 2000))	Fija el alto del eje	Formato de eje
lines(y ~ x, data = d)	Agrega una curva a la gráfica abierta	Agregar serie
exp(x)	Eleva e a la x	EXP(x)
x^2	Eleva al cuadrado	x^2
sqrt(x)	Saca la raíz cuadrada	RAIZ(x)
round(x, 0)	Redondea	REDONDEAR(x, 0)