Crecimiento y tasa neta

Tasa media, crecimiento absoluto y proporcional, ganancia y pérdida

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad I

Tema I.2 · Unidad I · Crecimiento de los seres vivos

Crecimiento y tasa neta

Tasa media, crecimiento absoluto y proporcional, ganancia y pérdida

¿Cuándo llega el lote al peso esperado?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en Excel
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

Leer el texto de los audios

1. El problema

Tienes un lote de plántulas con cien gramos de biomasa, y quieres saber cuándo llegará a ciento setenta, para programar el trasplante.

Hay dos propuestas. Una dice: gana diez gramos cada día. La otra dice: gana diez por ciento cada día. Si haces la cuenta del primer día, las dos dan exactamente lo mismo: ciento diez gramos. Entonces, ¿da igual cuál uses?

No. Con el paso de los días se separan, y al final predicen fechas distintas. Y para un productor, una fecha distinta significa contratar el trasplante, la cosecha o el transporte en otro momento.

El depósito del tema anterior cambiaba siempre al mismo ritmo. Pero un ser vivo no. Un lote más grande suele ganar más. Eso es lo que este tema agrega.

2. La idea central

Primero, una distinción. El cambio responde cuánto. La tasa responde qué tan rápido. Un intervalo largo puede perder más litros sin ser más rápido. Para comparar rapidez, se divide entre la duración.

Luego vienen las dos reglas de crecimiento. En el crecimiento absoluto, se suma la misma cantidad en cada periodo, sin importar cuánto hay. En el proporcional, se suma una fracción de lo que hay. Como cada vez hay más, cada vez se suma más.

Fíjate en cómo se calculan: cada valor sale del anterior. Lo de hoy se calcula con lo de ayer. A eso se le llama simular paso a paso, y es la idea que vas a usar en todo el curso. En una hoja de cálculo es muy natural, porque cada fila usa la de arriba.

Ahora, un ser vivo no sólo gana. Un lote de plántulas crece, y a la vez se le caen hojas. Si restas lo que pierde de lo que gana, obtienes la tasa neta. Si es positiva, el lote aumenta. Si es cero, se mantiene. Si es negativa, disminuye.

Y aquí hay algo importante. Ganar quince por ciento y perder diez da lo mismo que ganar diez y perder cinco. El peso final no los distingue. Pero no son lo mismo, porque el crecimiento se mejora de una manera, y la pérdida, de otra. Por eso, a veces, hay que medir los procesos por separado.

Una última advertencia: ninguna de estas reglas tiene un límite. Sirven para periodos cortos. Si las estiras demasiado, predicen absurdos.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás cómo se separan las dos reglas con el tiempo.

Más adelante hay un recuadro interactivo. Busca qué valores hacen que cada regla llegue primero a la meta. Y luego sube la ganancia y la pérdida por igual, a ver qué cambia.

Después viene un ejemplo resuelto con la engorda de corderos, que sólo se lee. Ahí el resultado es menos obvio de lo que parece.

Luego siguen los ejercicios en papel, y al final abres la hoja de cálculo para hacer tu primera simulación. Es sencilla, y la misma lógica te va a acompañar hasta la última unidad.

Hasta aquí, las tasas han sido datos dados. Pero en un cultivo real dependen de cosas como la temperatura y el agua. De eso trata el siguiente tema.

De qué trata

El depósito del Tema I.1 cambiaba siempre al mismo ritmo. Los seres vivos no: un lote más grande suele ganar más. Este tema usa el mismo balance, pero lo que entra depende de lo que ya hay. Con eso aparecen las dos reglas básicas del crecimiento, la idea de simular paso a paso, y la tasa neta, que junta lo que se gana y lo que se pierde.

Antes · Tema I.1 Modelos y modelación ¿Alcanza el agua para el riego?

Este tema · I.2 Crecimiento y tasa neta ¿Cuándo llega el lote al peso esperado?

Después · Tema I.3 Factores y umbrales en cultivos ¿Cuándo conviene actuar?

Al terminar este tema podrás:

1. Distinguir entre cambio y tasa media.
2. Simular el crecimiento absoluto y proporcional, paso a paso.
3. Calcular ganancia, pérdida y cambio neto.
4. Explicar por qué dos procesos distintos pueden dar el mismo neto.
5. Reconocer hasta dónde es razonable un modelo sin límite.

Palabras clave cambio tasa media incremento absoluto incremento proporcional simulación paso a paso ganancia pérdida tasa neta

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre la hoja de cálculo hasta la práctica (sección 6). Sirve Excel o LibreOffice Calc. Los datos son didácticos.

1. El problema: dos predicciones

Un lote de plántulas del vivero tiene 100 g de biomasa seca. Se necesita saber cuándo llegará a 170 g, para programar el trasplante. Hay dos propuestas:

Modelo F Gana 10 g cada día Un incremento fijo

Modelo P Gana 10 % cada día De lo que tiene al comenzar el día

Al día 1 dan lo mismo: 110 g ¿Da igual cuál se use?

2. Por qué no basta un dato

Las dos reglas coinciden el primer día, de modo que un solo dato no puede distinguirlas. Con el tiempo, se separan. Para elegir, hay que pensar en el proceso: ¿lo que gana depende de lo que ya tiene? En un ser vivo, muchas veces sí, porque más tejido capta más luz y más nutrientes.

3. Las ideas

3.1 Cambio y tasa media

Cuando algo se observa en distintos momentos, hay dos preguntas distintas:

cambio = valor final − valor inicial tasa media = cambio ÷ duración

El cambio lleva las unidades de la cantidad, como L o g. La tasa lleva «por tiempo», como L/h o g/día. Un signo negativo indica que disminuye.

Para comparar qué tan rápido cambia algo, hay que comparar tasas, no cambios. Si un intervalo dura más, puede acumular más cambio sin ser más rápido.

3.2 Dos reglas de crecimiento

Absoluto: M(t+1) = M(t) + a equivale a: M(t) = M₀ + a × t

Se añade la misma cantidad a en cada periodo, sin importar cuánto hay.

Proporcional: M(t+1) = M(t) × (1 + g) equivale a: M(t) = M₀ × (1 + g)^t

Se añade una fracción g de lo que hay. Como cada vez hay más, cada vez se añade más.

Las primeras ecuaciones son reglas paso a paso: cada valor se calcula con el anterior. Eso es simular, y se hace muy fácil en una hoja de cálculo: cada fila usa la de arriba.

El modelo proporcional parece igual al inicio, pero se separa cada vez más.

3.3 Ganancia, pérdida y tasa neta

En el mismo día, un lote gana biomasa y pierde otra parte. Las dos fracciones se calculan sobre lo que hay al comenzar el día:

ganancia = M × g pérdida = M × p cambio neto = ganancia − pérdida

M siguiente = M + cambio neto = M × (1 + g − p). La tasa neta es g − p.

g − p	Qué le pasa al lote
Positiva	Aumenta
Cero	Se mantiene, aunque por dentro siga creciendo y perdiendo
Negativa	Disminuye

El neto esconde los procesos. g = 0.10 con p = 0.05 y g = 0.15 con p = 0.10 dan la misma biomasa, pero no son lo mismo: el crecimiento se mejora con nutrición, y la pérdida, con sanidad. Para saber en qué actuar, hay que medirlos por separado.

Prueba Dos reglas de crecimiento Las dos reglas arrancan en 100 g. ¿Con qué valores llega primero cada una a 300 g? Sube g y p por igual: ¿qué cambia?

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3.4 Hasta dónde vale

Ninguna de las dos reglas tiene un límite. En periodos cortos pueden servir, pero con el tiempo se acaban el espacio, la luz o los nutrientes. El crecimiento con límite se ve en la Unidad III.

4. Ejemplo resuelto: engorda de corderos

Este ejemplo sólo se lee. Un lote de corderos promedia 30 kg. Se venden a partir de 45 kg. Hay dos propuestas: el modelo F gana 2 kg por semana, y el modelo P gana 6 % por semana (datos didácticos).

Paso 1 · Simular a mano, cada semana con el valor de la anterior.

Semana	0	1	2	3	4	5	6	7	8
F (kg)	30	32	34	36	38	40	42	44	46
P (kg)	30	31.80	33.71	35.73	37.87	40.15	42.56	45.11	47.82

Paso 2 · Calcular en la hoja. En Excel, con los parámetros en B1 a B3:

Fórmulas de la hoja

Semana 1, modelo F:  =B8+$B$2
Semana 1, modelo P:  =C8*(1+$B$3)
Se copian hacia abajo.

Paso 3 · Leer los resultados. Al principio, F va adelante. En la semana 5, P lo rebasa. P llega a 45 kg en la semana 7 (45.11 kg), y F, en la semana 8, porque (45 − 30) ÷ 2 = 7.5 semanas.

Paso 4 · Agregar la pérdida. Si cada semana se pierde 1 % del peso del lote por muertes, la tasa neta de P pasa a 0.06 − 0.01 = 0.05. Tras cuatro semanas: 30 × 1.05⁴ = 36.47 kg, en lugar de 37.87 kg.

Paso 5 · Escribir la conclusión.

La diferencia entre los modelos importa para programar la venta: una semana. Para decidir entre ellos, hay que pesar el lote varias semanas, porque al principio casi no se distinguen. Ninguno sirve para mucho tiempo: al acercarse al peso adulto, el cordero deja de crecer a este ritmo.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Una comparación engañosa

Se registró el volumen de un depósito: 120 L a las 0 h, 112 L a la 1 h, 96 L a las 3 h y 72 L a las 6 h.

1. Calcula el cambio y la tasa de cada intervalo.
2. Alguien afirma: «Entre las 3 y las 6 h fue más rápido, porque se perdieron más litros». ¿Es correcto?

Ver la respuesta

1. 0 a 1 h: −8 L y −8 L/h. 1 a 3 h: −16 L y −8 L/h. 3 a 6 h: −24 L y −8 L/h.

2. No. Las tres tasas son iguales. Se perdieron más litros porque el intervalo dura más.

Ejercicio 2 · F y P

Con 100 g iniciales, F gana 10 g/día y P gana 10 % diario.

1. Antes de calcular: ¿cuál tendrá más biomasa al día 6?
2. Calcula ambos modelos hasta el día 6.
3. ¿Qué día se alcanzan 170 g con cada uno?
4. Si la biomasa inicial fuera 200 g, ¿cuánto sería el primer incremento en cada modelo?
5. ¿Sería razonable usar P durante 60 días?

Ver la respuesta

1. P: cada día suma 10 % de una biomasa cada vez mayor.

2. F: 110, 120, 130, 140, 150 y 160 g. P: 110, 121, 133.10, 146.41, 161.05 y 177.16 g.

3. F: 100 + 10t = 170, entonces t = 7, el día 7. P: el día 5 lleva 161.05 g y el día 6, 177.16 g, así que es el día 6.

4. F: 10 g. P: 20 g. El incremento absoluto no depende de cuánto hay; el proporcional sí.

5. No. 100 × 1.1⁶⁰ ≈ 30 400 g, unas 300 veces la biomasa inicial. El espacio, la luz y los nutrientes lo impiden.

Ejercicio 3 · Ganancia y pérdida

El lote empieza con 100 g. Cada día gana 10 % y pierde 5 %.

1. Calcula ganancia, pérdida, cambio neto y biomasa final del día 1.
2. Calcula la biomasa de los días 2 a 4.
3. Completa la tabla y escribe qué esperas antes de calcular.

Escenario	g	p	g − p	Tendencia	Biomasa día 4 (g)
1	0.10	0.05	?	?	?
2	0.10	0.10	?	?	?
3	0.10	0.15	?	?	?
4	0.15	0.10	?	?	?

4. ¿Qué escenarios terminan igual? ¿Qué tendría que medir el encargado para distinguirlos?
5. Con g = 0.10 y p = 0.05, ¿qué día supera 130 g por primera vez?

Ver la respuesta

1. Ganancia 10 g, pérdida 5 g, neto 5 g, final 105 g.

2. 110.25, 115.76 y 121.55 g.

Escenario	g − p	Tendencia	Biomasa día 4 (g)
1	0.05	Aumenta	121.55
2	0	Se mantiene	100
3	−0.05	Disminuye	81.45
4	0.05	Aumenta	121.55

4. El 1 y el 4, con g − p = 0.05. Con el peso total no se distinguen. Habría que medir la pérdida por separado, por ejemplo juntando y pesando las hojas caídas.

5. Día 5: 127.63 g. Día 6: 134.01 g. Supera 130 g el día 6.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «Como F y P dan 110 g el día 1, son el mismo modelo.»
2. «Si la biomasa se mantiene constante, el lote no está creciendo.»
3. «Si g sube de 0.10 a 0.15, siempre habrá más biomasa.»
4. «Una tasa negativa significa que el dato está mal.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. Coinciden en un punto, pero siguen reglas distintas, y se separan después.

2. Incorrecta. Puede estar creciendo y perdiendo lo mismo, con tasa neta 0.

3. Incorrecta. Si p también sube, puede no cambiar nada.

4. Incorrecta. Indica que la cantidad está disminuyendo.

6. Práctica en Excel

Ahora vas a simular en la hoja. Esta es la primera simulación del curso, y la lógica se usará hasta la Unidad IV.

Carpeta IBS-MDO-Tema-I2 en Google Drive · hoja de Excel
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Hoja de Tema_I2_ejercicios.xlsx	Para qué
1_Tasas	Calcular cambios y tasas, y graficar.
2_Crecimiento	Simular los modelos F y P.
3_TasaNeta	Simular ganancia y pérdida, y registrar escenarios.

1. Abre el archivo y escribe sólo en las celdas amarillas. Lee el recuadro azul de cada hoja.
2. 1_Tasas. Copia la fórmula de ejemplo y comprueba tu Ejercicio 1. Inserta una dispersión.
3. 2_Crecimiento. Copia las fórmulas hasta el día 6, e inserta una dispersión con líneas.
4. Cambia la biomasa inicial a 200 g. ¿Qué pasa con cada incremento? Regresa a 100 g.
5. 3_TasaNeta. Completa el día 2 en adelante. La inicial de cada día es la final del día anterior.
6. Cambia g y p para cada escenario, y escribe los valores en el registro. Con fórmulas, el registro cambiaría al mover g y p.

Las respuestas de esta práctica son las de los Ejercicios 1 a 3.

Si la hoja marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
Todas las filas dan lo mismo	La fórmula usa la celda inicial en vez de la fila de arriba.	Haz referencia a la celda de arriba, sin $.
Los incrementos no cuadran	El parámetro se movió al copiar.	Usa $B$6 en los parámetros.
0.1 aparece como 10%	Es sólo el formato.	No cambia el valor.
La gráfica tiene una línea de más	Se incluyó la columna del día como serie.	Usa la dispersión, con el día en el eje X.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Un intervalo pierde 30 L en 5 h, y otro pierde 20 L en 2 h. ¿Cuál bajó más rápido?

1. El de 30 L
2. El de 20 L
3. Igual

−6 L/h contra −10 L/h. Se comparan tasas, no cambios.

2. Con M = 200 g y g = 0.05, ¿cuánto hay después de un periodo?

1. 210 g
2. 205 g
3. 250 g

200 × 1.05 = 210 g.

3. g = 0.08 y p = 0.08. ¿Qué le pasa a la biomasa?

1. Aumenta
2. Disminuye
3. Se mantiene

La tasa neta es 0. Lo que se gana es igual a lo que se pierde.

4. ¿En cuál regla el incremento depende de cuánto hay?

1. En la absoluta
2. En la proporcional
3. En ninguna

Es una fracción de la biomasa actual, así que aumenta con ella.

Fórmulas de Excel de este tema

Fórmula	Qué hace
=B10+$B$6	Suma un incremento fijo a la fila de arriba
=C10*(1+$B$7)	Suma una fracción de la fila de arriba
=100*1.1^6	Forma con t: ^ eleva a una potencia
=SUMA(C11:C14)	Suma un rango