Correlación y regresión

Diagrama de dispersión, coeficiente r y recta con unidades

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad II

Tema II.4 · Unidad II · Calidad de la información

Correlación y regresión

Diagrama de dispersión, coeficiente r y recta con unidades

¿Cuánto rendimiento da cada kilo de nitrógeno?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

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1. El problema

Imagina que un productor de trigo te hace una pregunta muy concreta: si le pongo veinte kilos más de nitrógeno a cada hectárea, ¿cuánto más voy a cosechar?

Decirle que con más nitrógeno rinde más no le sirve de mucho. Él necesita un número, porque el nitrógeno cuesta dinero.

La asociación del Valle del Yaqui tiene registros de cuatrocientas parcelas, con dosis muy distintas. No hay dos grupos para comparar, como en el tema anterior. Hay una variable que puede tomar muchos valores, y otra que cambia con ella.

Para eso sirven dos herramientas que van juntas. La correlación dice si dos variables se mueven juntas, y con cuánta fuerza. La regresión convierte esa relación en una ecuación que responde cuánto.

Y esa ecuación es un modelo. Hasta ahora, los parámetros de un modelo parecían venir dados. Aquí vas a ver de dónde salen: de los datos.

2. La idea central

Todo empieza con una gráfica, el diagrama de dispersión. Cada punto es una parcela. Hacia la derecha, más nitrógeno. Hacia arriba, más rendimiento. Antes de calcular nada, se mira la forma de esa nube.

El coeficiente de correlación, que se llama r, resume esa nube en un número entre menos uno y uno. Cerca de uno, los puntos suben casi en línea recta. Cerca de menos uno, bajan casi en línea recta. Cerca de cero, no hay relación en línea recta. Fíjate en esas últimas palabras: r sólo mide líneas rectas. Una curva muy clara puede dar un valor cercano a cero. Y una correlación alta tampoco prueba la causa, porque una tercera variable podría estar moviendo a las otras dos.

Luego viene la recta. Tiene dos parámetros. El intercepto fija su altura. La pendiente dice cuánto cambia el rendimiento por cada kilo de nitrógeno. Y aquí está lo más importante del tema: la pendiente tiene unidades. En el trigo, sale que cada kilo de nitrógeno se asocia con unos trece kilos más de grano. Ésa es la respuesta para el productor.

De todas las rectas posibles, se elige la que queda más cerca de los puntos, en conjunto. La distancia entre cada punto y la recta se llama residuo. Es lo que el dato observado se aparta de lo que el modelo predice. Un residuo positivo quiere decir que esa parcela rindió más de lo esperado. Uno negativo, que rindió menos.

3. Qué sigue

Ahora ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás la nube real de las cuatrocientas parcelas. Fíjate en que sube, pero también en cuánto varía el rendimiento con la misma dosis.

Más adelante hay un recuadro interactivo donde mueves una recta con tus propias manos, y ves cómo cambian los residuos. Intenta acercarte a la mejor recta antes de pedir que te la muestre.

Después viene un ejemplo resuelto con agua y alfalfa, que sólo se lee. Ahí se calcula la recta a mano, y se ve que el programa da lo mismo.

Luego siguen los ejercicios en papel, con sus respuestas. Y al final abres R, y obtienes la recta del trigo. También vas a comparar varios factores, para ver cuál se relaciona más con el rendimiento. Hay uno que quizá te sorprenda.

Cuando termines, quédate con una pregunta, porque el siguiente tema la responde: ¿hasta dónde le puedo creer a esta recta?

De qué trata

La prueba estadística compara dos grupos. Pero muchas entradas de un biosistema no vienen en grupos: el nitrógeno puede valer 180, 240 o 310 kg/ha. Para esas variables, la correlación dice si dos variables se mueven juntas y la regresión convierte esa relación en una ecuación. Esa ecuación es un modelo, y sus parámetros salen de los datos.

Antes · Tema II.3 Prueba estadística ¿La diferencia es real?

Este tema · II.4 Correlación y regresión ¿Cuánto rinde cada kilo de nitrógeno?

Después · Tema II.5 Confiabilidad del ajuste y factores ¿Hasta dónde le puedo creer a la recta?

Al terminar este tema podrás:

1. Leer un diagrama de dispersión y describir la relación que muestra.
2. Interpretar el coeficiente de correlación r y reconocer sus límites.
3. Calcular a mano la pendiente y el intercepto a partir de un resumen de los datos.
4. Explicar la pendiente con sus unidades.
5. Calcular una predicción y un residuo.

Palabras clave diagrama de dispersión correlación coeficiente r regresión lineal pendiente intercepto mínimos cuadrados predicción residuo

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: ¿cuánto nitrógeno aplicar?

La asociación de productores de trigo del Valle del Yaqui tiene registros de 400 parcelas. Las dosis de nitrógeno van de 140 a 320 kg/ha. Los socios preguntan algo muy concreto:

Si aplico 20 kg/ha más de nitrógeno ¿Cuánto más cosecho? Respuesta en t/ha

Si conozco la dosis de una parcela ¿Qué rendimiento espero? Una predicción

Para contestar no basta decir que «más nitrógeno rinde más». Hace falta un número con unidades.

2. Por qué no basta una prueba t

Se podrían partir las parcelas en «poco» y «mucho» nitrógeno, y compararlas con una prueba t. Pero esa división es arbitraria y desperdicia información: trata igual a una parcela de 250 kg/ha y a una de 320 kg/ha. Además, sólo diría si los grupos difieren, no cuánto cambia el rendimiento por cada kilo.

3. Las ideas

3.1 El diagrama de dispersión

Cada punto es una parcela: su posición horizontal es la dosis de nitrógeno (x, la variable que explica) y su posición vertical es el rendimiento (y, la variable que se quiere explicar). Antes de calcular nada, se mira la gráfica.

Lo que dibuja R con las 400 parcelas. La nube sube, pero hay mucha variación a cualquier dosis.

3.2 El coeficiente de correlación r

El coeficiente r resume dirección y fuerza de una relación en línea recta. Siempre vale entre −1 y 1, y no tiene unidades.

Valor de r	Qué indica
Cerca de 1	Cuando x sube, y sube, y los puntos casi forman una recta
Cerca de −1	Cuando x sube, y baja, y los puntos casi forman una recta
Cerca de 0	No hay relación lineal

Cuatro nubes simuladas, con distintos valores de r.

3.3 Lo que r no dice

Correlación no es causa. Dos variables pueden moverse juntas porque una tercera mueve a ambas. En el trigo, la siembra tardía viene con más calor durante el llenado de grano: al mirar una sola, se ve también el efecto de la otra.

r sólo mide líneas rectas. Una relación curva puede ser muy clara y dar un r cercano a 0. Por eso primero se mira la gráfica.

r no dice cuánto. Un r alto no dice cuántas toneladas se ganan por kilo. Eso lo da la pendiente de la recta.

Datos simulados en los que la respuesta sube y luego baja. La relación es clara, pero r vale 0.04.

3.4 La recta de regresión

La recta es un modelo: una ecuación que da un valor de y para cada x.

y = a + b × x

a es el intercepto: el valor de y cuando x vale 0, y va en unidades de y. b es la pendiente: cuánto cambia y por cada unidad de x, y va en unidades de y por unidad de x.

De todas las rectas posibles, se usa la de mínimos cuadrados: la que hace más pequeña la suma de los residuos al cuadrado. Se calcula con cuatro datos de resumen y r:

b = r × (s_y ÷ s_x) a = ȳ − b × x̄

s_x y s_y son las desviaciones estándar de x y de y. x̄ y ȳ son sus medias. La recta siempre pasa por el punto de las medias.

3.5 Predicción y residuo

Con la ecuación se obtiene una predicción para cualquier x. Lo que se aparta el dato real de esa predicción es el residuo:

residuo = valor observado − valor predicho

Positivo: el dato quedó arriba de la recta, y rindió más de lo esperado. Negativo: quedó abajo.

Prueba a ajustar una recta a mano. Las líneas punteadas son los residuos.

Prueba Ajusta la recta Doce parcelas simuladas de chile con distintas dosis de composta. Mueve el intercepto y la pendiente, e intenta que la suma de residuos al cuadrado sea lo más pequeña posible.

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3.6 Un parámetro que viene de los datos

En un modelo, un parámetro es un número fijo que define su comportamiento. La pendiente es uno de ellos, y aquí no se supone: se estima de los datos. Por eso importa la calidad de la información. Con datos malos, el parámetro también sale malo.

4. Ejemplo resuelto: agua y forraje de alfalfa

Este ejemplo sólo se lee. Un productor registró en 10 parcelas de alfalfa la lámina de agua aplicada en el ciclo y el forraje cosechado (datos didácticos). ¿Cuánto forraje da cada centímetro de agua?

Paso 1 · Identificar las variables. x: agua aplicada, en cm. y: forraje, en t/ha.

Paso 2 · Ver los datos. La nube sube y casi forma una línea.

Script de R

alfalfa <- read.csv("ejemplo_alfalfa.csv")
plot(forraje_t_ha ~ agua_cm, data = alfalfa)

Paso 3 · Hacer la cuenta a mano. El resumen de los datos es:

Variable	Media	Desviación estándar
Agua (cm)	105	30.28
Forraje (t/ha)	18.42	3.60

Con r = 0.97:

• b = 0.97 × (3.60 ÷ 30.28) = 0.1153 t/ha por cm
• a = 18.42 − 0.1153 × 105 = 18.42 − 12.11 = 6.31 t/ha

Paso 4 · Pedírselo a R. R usa todos los decimales, así que el intercepto cambia ligeramente.

Script de R

cor(alfalfa$agua_cm, alfalfa$forraje_t_ha)
recta <- lm(forraje_t_ha ~ agua_cm, data = alfalfa)
recta

R contesta en la consola

[1] 0.969809

Call:
lm(formula = forraje_t_ha ~ agua_cm, data = alfalfa)

Coefficients:
(Intercept)      agua_cm
     6.3164       0.1153

Lo que dibuja R con plot() y abline(recta).

Paso 5 · Escribir la ecuación con unidades.

forraje (t/ha) = 6.32 + 0.1153 × agua (cm). Cada centímetro adicional de agua se asocia, en promedio, con 0.1153 t/ha más de forraje, o sea unos 115 kg/ha.

Paso 6 · Predecir y calcular un residuo. Con 110 cm, la parcela A06 cosechó 20.2 t/ha.

• Predicho = 6.32 + 0.1153 × 110 = 19.00 t/ha
• Residuo = 20.2 − 19.00 = +1.20 t/ha. Rindió más de lo que predice la recta.

Paso 7 · Poner un límite. El intercepto dice que con 0 cm de agua habría 6.32 t/ha de forraje, y eso no tiene sentido. Los datos sólo cubren de 60 a 150 cm, y fuera de ese rango la recta no tiene respaldo.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · La recta del trigo, a mano

El resumen de las 400 parcelas es: nitrógeno, media 229.15 y desviación estándar 39.64 kg/ha. Rendimiento, media 6.83 y desviación estándar 0.86 t/ha. Correlación: r = 0.60.

1. Calcula la pendiente b. Escribe sus unidades.
2. Calcula el intercepto a.
3. Explica la pendiente en kilos de grano por kilo de nitrógeno.

Ver la respuesta

1. b = 0.60 × (0.86 ÷ 39.64) = 0.0130 t/ha por kg de nitrógeno/ha.

2. a = 6.83 − 0.0130 × 229.15 = 6.83 − 2.98 = 3.85 t/ha. R, con todos los decimales, da 3.86.

3. 0.013 t son 13 kg. Cada kilo adicional de nitrógeno se asocia, en promedio, con 13 kg más de grano.

Ejercicio 2 · Predicciones y residuos

Usa rendimiento = 3.86 + 0.013 × nitrógeno.

1. Predice el rendimiento con 180 kg/ha y con 260 kg/ha.
2. La parcela P001 recibió 240 kg/ha y rindió 7.2 t/ha. Calcula su residuo.
3. La parcela P004 recibió 200 kg/ha y rindió 5.9 t/ha. Calcula su residuo.
4. ¿Cuál de las dos quedó arriba de la recta?
5. ¿Cuánto más predice la recta si un productor sube la dosis en 20 kg/ha?

Ver la respuesta

1. 3.86 + 0.013 × 180 = 6.20 t/ha. 3.86 + 0.013 × 260 = 7.24 t/ha.

2. Predicho: 3.86 + 0.013 × 240 = 6.98 t/ha. Residuo: 7.2 − 6.98 = +0.22 t/ha.

3. Predicho: 3.86 + 0.013 × 200 = 6.46 t/ha. Residuo: 5.9 − 6.46 = −0.56 t/ha.

4. P001, porque su residuo es positivo.

5. 0.013 × 20 = 0.26 t/ha, unos 260 kg/ha.

Ejercicio 3 · Revisar afirmaciones

Las correlaciones con el rendimiento son: nitrógeno 0.60, temperatura de llenado −0.67, riegos 0.08 y superficie 0.02. Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «La temperatura se relaciona menos con el rendimiento que el nitrógeno, porque su r es negativo.»
2. «Como r = 0.60, el nitrógeno causa el aumento de rendimiento.»
3. «Como r = 0.08, el riego no sirve para nada.»
4. «El intercepto de 3.86 t/ha significa que sin nitrógeno se cosechan 3.86 t/ha.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. La fuerza se lee sin el signo: 0.67 es mayor que 0.60. El signo sólo da la dirección: a más calor, menos rendimiento.

2. Incorrecta. Muestra una asociación. Una correlación por sí sola no demuestra la causa, porque otras variables podrían explicarla en parte.

3. Incorrecta. Sólo dice que, en estas parcelas, no se ve una relación lineal entre el número de riegos y el rendimiento. Puede que casi todas regaran parecido, o que la relación no sea recta.

4. Incorrecta. Los datos van de 140 a 320 kg/ha. Sin parcelas cerca de 0, la recta no respalda esa lectura. El intercepto sólo fija la altura de la recta. Lo verás en el Tema II.5.

6. Práctica en R

Ahora vas a obtener en R todo lo que hiciste en papel, y a comparar varios factores.

Carpeta IBS-MDO-Tema-II4 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_II4.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_II4_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
trigo_parcelas.csv	La copia revisada de la libreta: 400 parcelas.
ejemplo_alfalfa.csv	Los datos del ejemplo resuelto, por si quieres repetirlo.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_II4.Rproj y abre Tema_II4_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 a 3. Mira la nube y anota la correlación con el nitrógeno.
3. Bloque 4. Completa las líneas de riegos y superficie_ha, copiando la que ya está. Ordena los cuatro factores de mayor a menor fuerza.
4. Bloques 5 y 6. Obtén la recta y dibújala. Compara con tu Ejercicio 1.
5. Bloques 7 y 8. Comprueba tus predicciones y el residuo de P001.
6. Bloque 9. Obtén la recta de la temperatura y explica su pendiente con unidades.
7. Escribe dos oraciones para un productor: qué dice la recta del nitrógeno y qué no permite afirmar.
8. Bloque 10. Borra el # de cada línea, ejecútala, lee el mensaje de R y escribe la línea correcta.

Ver las respuestas de la práctica

Correlaciones con el rendimiento, de mayor a menor fuerza:

Factor	r	Lectura
Temperatura de llenado	−0.67	A más calor, menos rendimiento
Nitrógeno	0.60	A más nitrógeno, más rendimiento
Riegos	0.08	Casi sin relación lineal
Superficie	0.02	Casi sin relación lineal

Recta del nitrógeno. R da 3.86351 y 0.01296: rendimiento = 3.86 + 0.013 × nitrógeno.

Lo que dibuja R en el Bloque 6.

Bloque 7. 6.2 y 7.24 t/ha.

Bloque 8. Predicho: 6.98 t/ha. Residuo: +0.22 t/ha.

Recta de la temperatura. R da 19.3499 y -0.3975: rendimiento = 19.35 − 0.40 × temperatura. Cada °C adicional durante el llenado se asocia, en promedio, con 0.40 t/ha menos, o sea unos 400 kg/ha.

Para el productor, por ejemplo: «Dentro de 140 a 320 kg/ha, cada 20 kg/ha adicionales de nitrógeno se asocian, en promedio, con 0.26 t/ha más. Estos datos no prueban que el nitrógeno sea la única causa, ni dicen qué pasa fuera de ese rango.»

Bloque 10.

• cor(datos$Nitrogeno_kg_ha, datos$rendimiento_t_ha) tiene una mayúscula de más. R distingue mayúsculas y minúsculas: la columna es nitrogeno_kg_ha.
• lm(rendimiento_t_ha ~ nitrogeno_kg_ha) no dice en qué tabla buscar. Falta data = datos.
• abline(recta2) usa un objeto que no se ha creado. El nombre correcto es recta.

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
'x' debe ser numérico ('x' must be numeric)	La columna no existe, o no contiene números.	Revisa el nombre con head(datos).
objeto 'rendimiento_t_ha' no encontrado	R no sabe en qué tabla está la columna.	Agrega data = datos.
objeto 'recta' no encontrado	No has ejecutado la línea que crea la recta.	Ejecuta primero el Bloque 5.
plot.new has not been called yet	abline() necesita una gráfica ya abierta.	Ejecuta primero la línea de plot().
No veo la gráfica	Las gráficas salen en el panel Plots.	Haz clic en la pestaña Plots, abajo a la derecha.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. ¿Cuál relación es más fuerte?

1. r = 0.60
2. r = −0.67
3. No se pueden comparar, porque tienen signos distintos

La fuerza se lee sin el signo: 0.67 es mayor que 0.60. El signo sólo indica la dirección.

2. Una recta es rendimiento = 19.35 − 0.40 × temperatura. ¿Qué dice el −0.40?

1. Que el 40 % de las parcelas rinde menos
2. Que r vale −0.40
3. Que cada °C adicional se asocia con 0.40 t/ha menos

La pendiente tiene unidades: t/ha por °C. No es una correlación ni un porcentaje.

3. Una parcela predicha en 7.0 t/ha rindió 6.5 t/ha. ¿Cuál es su residuo?

1. −0.5 t/ha
2. +0.5 t/ha
3. 13.5 t/ha

Residuo = observado − predicho = 6.5 − 7.0 = −0.5 t/ha. Es negativo porque el dato quedó abajo de la recta.

4. Una gráfica muestra una curva muy clara en forma de arco, y r sale cerca de 0. ¿Qué concluyes?

1. Las variables no tienen ninguna relación
2. Hay relación, pero no es lineal
3. Se cometió un error de cálculo

r sólo mide relaciones en línea recta. Por eso siempre se mira primero la gráfica.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
plot(y ~ x, data = datos)	Dibuja el diagrama de dispersión	Insertar → Dispersión
cor(datos$x, datos$y)	Calcula r	COEF.DE.CORREL(rango_x, rango_y)
recta <- lm(y ~ x, data = datos)	Ajusta la recta y la guarda	INTERSECCION y PENDIENTE
abline(recta)	Dibuja la recta sobre la gráfica abierta	Agregar línea de tendencia