Tasas de crecimiento y descomposición

Tasa absoluta, tasa relativa y tasa neta

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad III

Tema III.1 · Unidad III · Dinámica de biosistemas

Tasas de crecimiento y descomposición

Tasa absoluta, tasa relativa y tasa neta

¿A qué ritmo crece un cultivo y a qué ritmo se pierde?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

Abrir la carpeta en Drive Ir a los ejercicios

Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 3 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central1 min

3. Qué sigue1 min

Leer el texto de los audios

1. El problema

Un técnico muestrea una parcela de trigo cada dos semanas, y mira dos tramos del ciclo. En el primero, la biomasa pasa de noventa y tres a doscientos cincuenta y tres gramos por metro cuadrado. En el segundo, pasa de quinientos cincuenta y ocho a novecientos noventa y dos. Y dice: en el segundo tramo creció más rápido, porque ganó más gramos.

Parece obvio. Pero fíjate: en el primer tramo, la biomasa casi se triplicó. En el segundo, ni siquiera se duplicó. Entonces, ¿cuándo creció más rápido?

Las dos respuestas son correctas, porque responden a preguntas distintas. Y de eso trata este tema: de cómo medir la rapidez con la que cambia un sistema vivo.

Hasta ahora, en la unidad anterior, te preguntabas cuánto rinde una parcela. Desde aquí te vas a preguntar cómo cambia con el tiempo. Y la medida básica de ese cambio es la tasa.

2. La idea central

La tasa absoluta responde cuántos gramos se ganan por día. Es la resta de las dos biomasas, dividida entre los días que pasaron.

La tasa relativa responde otra cosa: cuánto se gana por cada gramo que ya existe. Se calcula igual, pero con los logaritmos de las biomasas. Una tasa relativa de siete centésimas por día es, más o menos, crecer siete por ciento al día. Por eso sus unidades son sólo por día.

En un cultivo, las dos cuentan historias distintas. La absoluta sube, llega a un máximo a mitad del ciclo, y baja. La relativa es alta cuando la planta es joven, y va bajando, porque cada vez hay más tallo y más sombra. Las dos son ciertas. Por eso hay que decir siempre de cuál tasa se habla.

Ahora, casi nada en un biosistema sólo crece. El rastrojo que queda en el suelo pierde masa, y suele perder una fracción más o menos constante de lo que queda. De ahí sale la vida media: el tiempo en que se pierde la mitad. Ojo: pasadas dos vidas medias no se acabó todo. Queda la cuarta parte.

Y aquí viene la idea más importante. Un pastizal crece y a la vez pierde hojas. Lo que define qué le pasa es la tasa neta: la de crecimiento menos la de pérdida. Si es positiva, el sistema aumenta. Si es cero, se mantiene, aunque por dentro siga habiendo mucho movimiento. Si es negativa, disminuye.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás una figura con la biomasa del trigo y sus dos tasas, una junto a la otra. Compara en qué momento es máxima cada una.

Más adelante hay un recuadro interactivo con dos controles, el de crecimiento y el de pérdida. Prueba a subir los dos por igual, y luego haz que la pérdida rebase al crecimiento.

Después viene un ejemplo resuelto con lechuga hidropónica, que sólo se lee. Luego siguen los ejercicios en papel: necesitas una calculadora con la tecla de logaritmo natural.

Al final abres R y calculas las tasas de todo el ciclo del trigo, y la vida media del rastrojo. Fíjate en lo que pasa en el último muestreo.

Quizá te preguntes por qué aparece el logaritmo en todo esto. El siguiente tema responde justo eso.

De qué trata

La Unidad II se preguntó cuánto rinde una parcela. Esta unidad se pregunta cómo cambia un biosistema con el tiempo. La medida básica de ese cambio es la tasa. Hay dos formas de medir qué tan rápido crece algo, y se pueden contar historias opuestas con cada una. Además, casi ningún sistema sólo crece: también pierde, y lo que importa es la tasa neta.

Antes · Tema II.5 Confiabilidad del ajuste y factores ¿Hasta dónde le puedo creer a la recta?

Este tema · III.1 Tasas de crecimiento y descomposición ¿A qué ritmo crece y a qué ritmo se pierde?

Después · Tema III.2 Transformación logarítmica ¿Por qué se analiza en logaritmos?

Al terminar este tema podrás:

1. Calcular la tasa absoluta y la tasa relativa de crecimiento entre dos muestreos.
2. Explicar por qué las dos tasas cambian de manera distinta en un ciclo.
3. Calcular una tasa de descomposición y una vida media.
4. Calcular una tasa neta y predecir si un sistema crece, se mantiene o decrece.

Palabras clave tasa absoluta tasa relativa logaritmo natural descomposición vida media tiempo de duplicación tasa neta

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: ¿cuándo crece más rápido?

Se muestreó la biomasa de una parcela de trigo cada 14 días. Un técnico mira estos dos tramos:

Del día 28 al 42 De 93 a 253 g/m² Gana 160 g/m²

Del día 56 al 70 De 558 a 992 g/m² Gana 434 g/m²

Su conclusión: «Crece más rápido del día 56 al 70»

En gramos ganados, tiene razón. Pero en el primer tramo la biomasa casi se triplicó, y en el segundo ni siquiera se duplicó. ¿Cuándo creció más rápido?

2. Por qué no basta una sola medida

Las dos respuestas son correctas, porque preguntan cosas distintas. Una ganancia de 10 g es enorme para una plántula de 5 g, y es poca cosa para un cultivo de 1 000 g. Por eso hay dos tasas: una mide cuánto se gana, y la otra cuánto se gana por cada gramo que ya hay.

3. Las ideas

3.1 La tasa absoluta

Dice cuánto se gana por unidad de tiempo. Se conoce como tasa de crecimiento absoluto (TCA).

TCA = (W₂ − W₁) ÷ (t₂ − t₁)

W₁ y W₂ son la biomasa en los tiempos t₁ y t₂. Va en unidades de biomasa por tiempo, como g/m² por día.

3.2 La tasa relativa

Dice cuánto se gana por cada gramo que ya existe. Se conoce como tasa de crecimiento relativo (TRC), y usa el logaritmo natural (ln).

TRC = (ln W₂ − ln W₁) ÷ (t₂ − t₁)

Va en «por día», porque las unidades de biomasa se cancelan. Una TRC de 0.07 por día es, más o menos, crecer 7 % al día.

El logaritmo aparece porque el crecimiento se acumula, como el interés de un banco. En el Tema III.2 se ve con detalle por qué.

3.3 Cómo cambian en un ciclo

En un cultivo real, las dos tasas cuentan historias distintas:

Los muestreos de la parcela de trigo. La tasa absoluta sube y luego baja. La tasa relativa, en general, va bajando.

• Tasa absoluta: sube mientras hay más hojas que captan luz, llega a un máximo y baja cuando el cultivo se acerca a la madurez.
• Tasa relativa: es alta en plantas jóvenes, en las que casi todo el tejido es activo. Baja conforme aumenta la proporción de tallos, sombra y tejido viejo.

3.4 La descomposición

El rastrojo que queda en el suelo pierde masa. Con frecuencia pierde una fracción más o menos constante de lo que queda. Se usa la misma fórmula de la TRC, y sale negativa. Su valor positivo se llama k, la constante de descomposición.

k = (ln W₁ − ln W₂) ÷ (t₂ − t₁) vida media = ln 2 ÷ k

La vida media es el tiempo en que se pierde la mitad de lo que hay. ln 2 vale 0.693. En el crecimiento, el tiempo de duplicación se calcula igual: ln 2 ÷ TRC.

3.5 La tasa neta

Casi ningún sistema sólo crece. Un cultivo produce y a la vez pierde hojas. Un lote de peces engorda y también tiene mortalidad. La tasa neta es lo que queda:

tasa neta = tasa de crecimiento − tasa de pérdida

Positiva: el sistema aumenta. Cero: se mantiene. Negativa: disminuye. Las dos tasas deben estar en las mismas unidades.

Es una idea central para modelar: dos sistemas con la misma tasa neta cambian igual, aunque uno tenga mucho crecimiento y mucha pérdida, y el otro poco de ambos.

Prueba Crecer y perder a la vez Mueve las dos tasas. ¿Qué pasa si las dos suben igual? ¿Qué pasa cuando la pérdida rebasa al crecimiento?

Este recuadro necesita JavaScript activado en el navegador.

4. Ejemplo resuelto: lechuga hidropónica

Este ejemplo sólo se lee. Se pesó una lechuga hidropónica cada 7 días (datos didácticos).

Día	0	7	14	21	28	35
Peso (g)	5	9	16	28	47	73

Paso 1 · Calcular las dos tasas del primer tramo, a mano. Del día 0 al 7:

• TCA = (9 − 5) ÷ 7 = 0.571 g por día
• TRC = (ln 9 − ln 5) ÷ 7 = (2.197 − 1.609) ÷ 7 = 0.084 por día

Paso 2 · Calcular el último tramo. Del día 28 al 35:

• TCA = (73 − 47) ÷ 7 = 3.714 g por día
• TRC = (ln 73 − ln 47) ÷ 7 = (4.290 − 3.850) ÷ 7 = 0.063 por día

Paso 3 · Calcularlas todas en R.

Script de R

lechuga <- read.csv("ejemplo_lechuga.csv")
dias <- diff(lechuga$dia)
diff(lechuga$peso_g) / dias
diff(log(lechuga$peso_g)) / dias

R contesta en la consola

[1] 0.5714286 1.0000000 1.7142857 2.7142857 3.7142857
[1] 0.08396882 0.08221919 0.07994489 0.07404063 0.06286682

Paso 4 · Interpretar.

La tasa absoluta se multiplica por más de 6: la lechuga gana cada vez más gramos por día. La tasa relativa baja de 0.084 a 0.063 por día: cada gramo presente rinde un poco menos. Las dos afirmaciones son ciertas, y por eso hay que decir siempre de qué tasa se habla.

Paso 5 · Calcular el tiempo de duplicación. Con la TRC del primer tramo: ln 2 ÷ 0.084 = 0.693 ÷ 0.084 = 8.3 días. Coincide con lo que se ve: del día 0 al 7, el peso casi se duplica.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora con tecla ln y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Los dos tramos del trigo

Del problema de la sección 1:

1. Calcula TCA y TRC del día 28 al 42 (de 93 a 253 g/m²).
2. Calcula TCA y TRC del día 56 al 70 (de 558 a 992 g/m²).
3. ¿Cuándo creció más rápido? Responde según cada tasa.

Ver la respuesta

1. TCA = 160 ÷ 14 = 11.43 g/m² por día. TRC = (5.533 − 4.533) ÷ 14 = 0.0715 por día.

2. TCA = 434 ÷ 14 = 31.00 g/m² por día. TRC = (6.900 − 6.324) ÷ 14 = 0.0411 por día.

3. En gramos, del día 56 al 70. En relación con lo que ya había, del día 28 al 42.

Ejercicio 2 · El rastrojo

Después de la cosecha quedaron 500 g/m² de rastrojo. A los 120 días quedaban 118 g/m².

1. Calcula k.
2. Calcula la vida media.
3. Con W = 500 × e^−k×t, predice cuánto queda a los 60 días. Se midieron 238 g/m². ¿Qué tan cerca quedó?

Ver la respuesta

1. k = (ln 500 − ln 118) ÷ 120 = (6.215 − 4.771) ÷ 120 = 0.0120 por día.

2. 0.693 ÷ 0.0120 = 57.8 días. Con todos los decimales, 57.6.

3. 500 × e^−0.72 = 500 × 0.487 = 243 g/m². Queda a 5 g/m² de lo medido.

Ejercicio 3 · La tasa neta

Un pastizal crece a una tasa de 0.05 por día. Tiene una tasa de pérdida de 0.02 por día por senescencia.

1. Calcula la tasa neta y el tiempo de duplicación.
2. Con pastoreo, la pérdida sube a 0.05 por día. ¿Qué le pasa a la biomasa?
3. Con sobrepastoreo, la pérdida sube a 0.06 por día. ¿Qué le pasa? ¿En cuánto tiempo se reduce a la mitad?

Ver la respuesta

1. 0.05 − 0.02 = 0.03 por día. Duplicación: 0.693 ÷ 0.03 = 23.1 días.

2. Tasa neta 0. La biomasa se mantiene.

3. Tasa neta −0.01 por día. La biomasa disminuye, y se reduce a la mitad en 0.693 ÷ 0.01 = 69.3 días.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «Si la tasa relativa baja, el cultivo está perdiendo biomasa.»
2. «Una TCA de 31 g/m² por día es mayor que una TRC de 0.07 por día.»
3. «Si la vida media es de 58 días, a los 116 días ya no queda nada.»
4. «La tasa neta de un sistema con mucho crecimiento siempre es alta.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. Mientras sea positiva, el cultivo sigue ganando biomasa. Sólo gana menos por cada gramo que ya tiene.

2. Incorrecta. No se pueden comparar: tienen unidades distintas.

3. Incorrecta. A los 58 días queda la mitad, y a los 116 días queda la cuarta parte.

4. Incorrecta. Depende de la pérdida. Un sistema con 0.10 de crecimiento y 0.10 de pérdida tiene tasa neta de 0.

6. Práctica en R

Ahora vas a calcular las dos tasas en todo el ciclo del trigo, y la descomposición del rastrojo.

Carpeta IBS-MDO-Tema-III1 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_III1.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_III1_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
biomasa_trigo.csv	9 muestreos de biomasa de una parcela de trigo.
rastrojo.csv	7 mediciones de rastrojo en el suelo.
ejemplo_lechuga.csv	Los datos del ejemplo resuelto, por si quieres repetirlo.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_III1.Rproj y abre Tema_III1_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 y 2. Mira la curva. Anota en qué tramo crees que crece más rápido.
3. Bloques 3 y 4. Calcula las dos tasas. Comprueba tu Ejercicio 1.
4. Bloques 5 y 6. Junta las tasas en la tabla, y dibújalas. ¿En qué tramo es máxima cada una?
5. Último muestreo. ¿Qué pasa con las tasas al final? ¿Qué significa, en un cultivo?
6. Bloques 7 a 9. Completa la línea que falta y comprueba tu Ejercicio 2.
7. Bloque 10. Borra el # de cada línea, ejecútala, lee lo que contesta R y explica qué pasó.

Ver las respuestas de la práctica

Tasas del trigo.

Día final del tramo	Biomasa (g/m²)	TCA (g/m² por día)	TRC (por día)
14	37
28	93	4.00	0.0658
42	253	11.43	0.0715
56	558	21.79	0.0565
70	992	31.00	0.0411
84	1 341	24.93	0.0215
98	1 536	13.93	0.0097
112	1 803	19.07	0.0114
126	1 633	−12.14	−0.0071

Máximos. La TCA es máxima en el tramo que termina el día 70. La TRC, en el que termina el día 42.

Último muestreo. Las dos tasas salen negativas: la biomasa bajó de 1 803 a 1 633 g/m². Puede ser pérdida de hojas al madurar, o simple variación de muestreo, porque se muestrea una porción distinta cada vez. Con un solo tramo no se puede distinguir. Por eso tampoco suben y bajan de manera perfectamente suave.

Rastrojo. Las tasas por tramo son −0.0124, −0.0108, −0.0139, −0.0115, −0.0126 y −0.0110 por día: bastante parecidas, lo que apoya la idea de una fracción constante. En cambio, los gramos perdidos bajan de 5.5 a 1.45 g/m² por día.

Bloque 9. k = 0.0120 por día. Vida media = 57.6 días.

Bloque 10.

• trigo$tca <- tca falla con replacement has 8 rows, data has 9: la tasa tiene un valor menos que la tabla. Falta c(NA, tca).
• diff(biomasa_g_m2) falla porque no dice de qué tabla es la columna. Debe ser diff(trigo$biomasa_g_m2).
• log(trigo$dia - 14) no da error, pero el primer valor sale -Inf: el logaritmo de 0 no existe. R a veces no avisa con un error, y por eso hay que mirar los resultados.

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
replacement has 8 rows, data has 9	La columna nueva tiene un valor menos que la tabla.	Usa c(NA, tca).
objeto 'dias' no encontrado	No has ejecutado la línea que lo crea.	Ejecuta primero el Bloque 3.
NaNs produced o Se han producido NaNs	Pediste el logaritmo de un número negativo.	Revisa los datos.
-Inf en un resultado	Pediste el logaritmo de 0.	Revisa los datos.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Una planta pasa de 10 a 20 g, y otra de 100 a 120 g, en el mismo tiempo. ¿Cuál tiene mayor tasa relativa?

1. La de 100 g, porque ganó más gramos
2. La de 10 g, porque se duplicó
3. Tienen la misma

La primera ganó 100 % de lo que tenía, y la segunda sólo 20 %.

2. ¿En qué unidades va una tasa relativa de crecimiento?

1. g/m²
2. g/m² por día
3. por día

Los gramos se cancelan al restar logaritmos: sólo queda «por tiempo».

3. Un rastrojo tiene k = 0.02 por día. ¿Cuál es su vida media?

1. 34.7 días
2. 50 días
3. 0.014 días

0.693 ÷ 0.02 = 34.7 días.

4. Un cultivo crece a 0.04 por día y pierde a 0.06 por día. ¿Qué pasa?

1. Crece, porque hay crecimiento
2. Disminuye, porque la tasa neta es negativa
3. Se mantiene

0.04 − 0.06 = −0.02 por día. Pierde más de lo que crece.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
diff(x)	Resta cada valor menos el anterior	=B3-B2, arrastrada
log(x)	Logaritmo natural	LN(x)
c(NA, x)	Agrega un vacío al inicio	Dejar vacía la primera celda
x[7]	El valor del renglón 7	INDICE o ir a la celda
plot(y ~ x, type = "b")	Puntos unidos con líneas	Dispersión con líneas