Concentración de variables fisicoquímicas

Balance de masa, remoción en un filtro y clasificación del agua

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad IV

Tema IV.2 · Unidad IV · Simulación de biosistemas

Concentración de variables fisicoquímicas

Balance de masa, remoción en un filtro y clasificación del agua

¿Cuántas partículas salen del filtro?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

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1. El problema1 min

2. La idea central2 min

3. Qué sigue1 min

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1. El problema

En el tema anterior viste cuánta agua pasa por un filtro de arena. Ahora la pregunta es otra: ¿qué tan limpia sale?

Imagina que mides la turbiedad del agua dentro del filtro, a distintas profundidades. Entra muy turbia. A los veinte centímetros, ya se retuvo cerca de noventa por ciento. Tu meta es un poco más baja. ¿Cuánta arena más hace falta?

Otra vez, la regla de tres parece fácil, y otra vez se equivoca. Porque cada capa de arena no retira una cantidad fija. Retira una fracción de lo que le llega. Las primeras capas trabajan mucho, y las últimas, poco.

Este tema sigue lo que el agua lleva: partículas, sales o fertilizante. Y al final, también te pregunta para qué quieres el agua. Porque la misma agua puede ser aceptable para una cosa y no para otra.

2. La idea central

El principio es el mismo balance del tema anterior, ahora con masa: el cambio de lo que hay es lo que entra menos lo que sale. La masa de una sustancia es su concentración por el volumen.

De ahí salen tres herramientas. La primera es la mezcla. Al juntar dos corrientes de agua, la concentración que resulta es un promedio, que pesa más hacia la corriente con más caudal.

La segunda es el tanque. Si a un tanque le entra agua con cierta concentración, y sale la misma cantidad, la concentración del tanque se va acercando a la de entrada. El tiempo característico es el volumen dividido entre el caudal, y se llama tiempo de residencia.

La tercera es la remoción en el filtro. Como cada capa retira una fracción de lo que le llega, la turbiedad baja de forma exponencial con la profundidad. Es la misma forma de la descomposición del rastrojo. Y se analiza igual: con logaritmos sale una recta, y su pendiente es la constante de remoción. Con ella calculas cuánta arena necesitas. Pero recuerda el tema anterior: más arena o arena más fina limpia más, y también hace más lento al filtro. Ésa es la decisión de diseño.

Por último, un número sólo significa algo frente a una referencia. Para agua de consumo humano, la norma mexicana pone un límite de cuatro unidades de turbiedad. Para riego, una guía de la FAO clasifica el agua según su conductividad eléctrica.

Y aquí van dos advertencias importantes. Cumplir con la turbiedad no vuelve potable al agua, porque la norma revisa muchos otros parámetros. Un filtro casero no da agua para beber. Y la arena retiene partículas, no sales disueltas.

3. Qué sigue

Ya puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Más adelante hay un recuadro interactivo donde diseñas el filtro. Cambia la turbiedad de entrada, la constante y el espesor, hasta llegar a la meta.

Después viene un ejemplo resuelto con una mezcla de agua y un tanque de fertirriego, que sólo se lee.

Luego siguen los ejercicios en papel. Vas a comprobar a mano lo que le pasa a la regla de tres.

Al final abres R, estimas la constante con un perfil medido, clasificas ocho pozos y simulas un estanque. Dos de las líneas con error de ese script no marcan ningún aviso. Ésas son las más peligrosas.

Hasta aquí, agua y sustancias. En el siguiente tema se aplica el mismo balance a lo que falta: el calor.

De qué trata

El Tema IV.1 siguió el agua. Este tema sigue lo que el agua lleva: partículas, sales, fertilizante. El principio es el mismo balance, ahora de masa. Con él se calculan mezclas, se simula un tanque, se predice cuánto retiene un filtro según su espesor y se compara el resultado contra una referencia oficial.

Antes · Tema IV.1 Dinámica hidráulica ¿Cuánto tarda el agua en pasar por el filtro?

Este tema · IV.2 Concentración de variables fisicoquímicas ¿Cuántas partículas salen del filtro?

Después · Tema IV.3 Dinámica de temperatura ¿Qué tan rápido se calienta un estanque?

Al terminar este tema podrás:

1. Calcular la concentración de una mezcla con un balance de masa.
2. Simular cómo cambia la concentración de un tanque con entrada y salida.
3. Estimar la constante de remoción de un filtro con una recta en logaritmos.
4. Dimensionar el espesor de un filtro para una meta.
5. Clasificar agua según una referencia, y reconocer qué no dice esa clasificación.

Palabras clave concentración balance de masa mezcla turbiedad conductividad eléctrica constante de remoción límite permisible

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6). Los datos de este tema son didácticos. Los límites citados son reales, y conviene consultarlos en su fuente vigente.

1. El problema: ¿cuánta arena hace falta?

A un filtro de arena le entra agua turbia, y se mide su turbiedad en distintas profundidades:

Entrada 53.8 UNT Agua muy turbia

A los 20 cm 5.6 UNT Ya retuvo cerca de 90 %

La meta: 4 UNT ¿Cuántos centímetros más?

2. Por qué no basta una regla de tres

Si 20 cm retiran 48.2 UNT, parecería que cada centímetro retira 2.4 UNT, y que el filtro quedaría limpio en 22.3 cm. Pero cada capa retira una fracción de lo que le llega, no una cantidad fija. Las primeras capas retiran mucho porque les llega mucho, y las últimas, poco. Es la misma forma de la descomposición del Tema III.1.

3. Las ideas

3.1 Concentración y balance de masa

La concentración es masa por volumen. La masa de una sustancia que lleva el agua es concentración × volumen, y la masa se conserva.

cambio de masa = masa que entra − masa que sale ± reacciones

La masa que entra por unidad de tiempo es caudal × concentración.

3.2 Mezclas

Cuando se juntan dos corrientes, la masa total es la suma de las masas:

C_mezcla = (Q₁ × C₁ + Q₂ × C₂) ÷ (Q₁ + Q₂)

Es un promedio ponderado por caudal. Vale para sustancias que no reaccionan, y de forma aproximada para la conductividad eléctrica.

3.3 Un tanque con entrada y salida

Si un tanque de volumen fijo V, bien mezclado, recibe y descarga un caudal Q, y el agua que entra tiene concentración C_e:

C_siguiente = C + (Q ÷ V) × (C_e − C) × paso

El equilibrio es C_e. El tiempo característico es τ = V ÷ Q, llamado tiempo de residencia.

Un estanque de CE 0.6 dS/m que recibe agua de 2.0 dS/m. Se acerca a la CE de entrada, con τ = 20 días.

3.4 La remoción en un filtro

Dentro de la arena, cada capa retiene una fracción constante de lo que le llega. Con C₀ a la entrada y una constante de remoción λ (por cm):

C = C₀ × e^−λ×z remoción = 1 − e^−λ×L L_necesario = ln(C₀ ÷ C_meta) ÷ λ

z: profundidad. L: espesor total. λ depende del grano de arena, de la velocidad del agua y de las partículas. Se estima con la recta ln(C) contra z, como en el Tema III.2.

Hay una tensión de diseño: más arena o arena más fina limpian más, pero el agua pasa más despacio, según la ley de Darcy del Tema IV.1. Con el uso, además, el filtro se tapa.

Prueba Diseña el filtro Cambia la entrada, λ y el espesor. La línea punteada marca 4 UNT.

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3.5 Clasificar el agua

Un número sólo dice algo si se compara con una referencia, y la referencia depende del uso:

Uso	Variable	Referencia	Valores
Consumo humano	Turbiedad	NOM-127-SSA1-2021	Hasta 4 UNT
Riego	Conductividad eléctrica (CE)	FAO, Ayers y Westcot (1985)	Menos de 0.7 dS/m: sin restricción. De 0.7 a 3.0: restricción ligera a moderada. Más de 3.0: restricción severa

Cumplir un parámetro no vuelve potable al agua. La norma revisa muchos parámetros, entre ellos microbiológicos y metales. Un filtro casero de arena no da agua para beber.

La arena retiene partículas, no sales disueltas. Un filtro de arena baja la turbiedad, pero casi no cambia la CE.

Una restricción no es una prohibición. Agua con restricción moderada puede servir, según el cultivo, el suelo y el manejo.

4. Ejemplo resuelto: mezcla y fertirriego

Este ejemplo sólo se lee (datos didácticos).

Parte A · La mezcla. Un productor mezcla 40 L/s de un pozo de 2.2 dS/m con 60 L/s de un canal de 0.5 dS/m.

• C_mezcla = (40 × 2.2 + 60 × 0.5) ÷ (40 + 60) = (88 + 30) ÷ 100 = 1.18 dS/m
• Clasificación para riego: restricción ligera a moderada, porque queda entre 0.7 y 3.0.

Parte B · El tanque. Un tanque de V = 1 000 L, con agua limpia, recibe y descarga Q = 20 L/min de solución con C_e = 5 g/L de fertilizante.

Paso 1 · Calcular el equilibrio y τ. C* = C_e = 5 g/L. τ = 1 000 ÷ 20 = 50 min.

Paso 2 · Dar dos pasos a mano, cada uno de 1 min.

• C = 0 + (20 ÷ 1 000) × (5 − 0) × 1 = 0.100 g/L
• C = 0.100 + 0.02 × (5 − 0.100) × 1 = 0.198 g/L

Paso 3 · Simular en R.

Script de R

minutos <- 0:60
C <- numeric(length(minutos))
C[1] <- 0
for (i in 2:length(minutos)) {
  C[i] <- C[i - 1] + 20 / 1000 * (5 - C[i - 1]) * 1
}

Minuto	1	2	10	25	50	60
C (g/L)	0.100	0.198	0.915	1.983	3.179	3.512

Paso 4 · Comprobar. A τ = 50 min debe haber recorrido 63 % de lo que le faltaba: 0.63 × 5 = 3.15 g/L. La simulación da 3.18 g/L.

Paso 5 · Interpretar.

El tanque tarda bastante en cargarse: en una hora apenas llega a 3.5 g/L, 70 % de la concentración de entrada. Si el riego dura 30 minutos, las plantas reciben mucho menos fertilizante del que indica la solución de entrada. El modelo supone mezcla perfecta, que conviene revisar midiendo en más de un punto.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora con tecla ln y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · El filtro

Del perfil medido: 53.8 UNT en 0 cm, y 5.6 UNT en 20 cm.

1. Estima λ con estos dos puntos.
2. R, con todos los puntos, da λ = 0.117 por cm y C₀ = 58 UNT. ¿Cuánto predice para 20 cm?
3. ¿Qué porcentaje retira un filtro de 20 cm?
4. ¿Cuántos centímetros hacen falta para llegar a 4 UNT?
5. Compara con la regla de tres de la sección 2. ¿Qué habría pasado con un filtro de 22.3 cm?

Ver la respuesta

1. λ = (ln 53.8 − ln 5.6) ÷ 20 = (3.985 − 1.723) ÷ 20 = 0.113 por cm.

2. 58 × e^−0.117×20 = 58 × e^−2.34 = 58 × 0.0963 = 5.59 UNT.

3. 1 − 0.0963 = 90.4 %.

4. ln(58 ÷ 4) ÷ 0.117 = ln(14.5) ÷ 0.117 = 2.674 ÷ 0.117 = 22.9 cm.

5. Saldría con 58 × e^{−0.117×22.3} = 4.3 UNT, no con 0. La regla de tres prometía agua sin turbiedad.

Ejercicio 2 · Mezclar agua

Un pozo tiene CE = 1.8 dS/m, y un canal tiene CE = 0.4 dS/m.

1. Calcula la CE de una mezcla con 30 % de pozo y 70 % de canal.
2. Clasifícala para riego.
3. ¿Qué fracción de canal hace falta para llegar a 0.7 dS/m?

Ver la respuesta

1. 0.30 × 1.8 + 0.70 × 0.4 = 0.54 + 0.28 = 0.82 dS/m.

2. Restricción ligera a moderada: queda entre 0.7 y 3.0.

3. Con x de canal: 1.8 × (1 − x) + 0.4 × x = 0.7. Entonces x = (1.8 − 0.7) ÷ (1.8 − 0.4) = 0.786. Hace falta 78.6 % de canal.

Ejercicio 3 · Un estanque

Un estanque de V = 2 000 m³, con CE = 0.6 dS/m, recibe y descarga Q = 100 m³/día de agua con CE = 2.0 dS/m.

1. Calcula el equilibrio y τ.
2. Da dos pasos a mano, de 1 día cada uno.
3. Con la fórmula C = C_e + (C₀ − C_e) × e^−t÷τ, calcula la CE a los 20 días y a los 60 días.
4. ¿Qué otro proceso de un estanque real haría subir la CE aún más?

Ver la respuesta

1. Equilibrio: 2.0 dS/m. τ = 2 000 ÷ 100 = 20 días.

2. 0.6 + 0.05 × (2.0 − 0.6) = 0.670 dS/m. 0.670 + 0.05 × (2.0 − 0.670) = 0.736 dS/m.

3. A 20 días: 2 + (−1.4) × e⁻¹ = 2 − 0.515 = 1.485 dS/m. A 60 días: 2 − 1.4 × e⁻³ = 1.930 dS/m.

4. La evaporación: se va el agua y se quedan las sales. Este modelo no la incluye.

Ejercicio 4 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «Este filtro deja el agua en 3 UNT, entonces ya se puede beber.»
2. «Un filtro de arena sirve para bajar la salinidad del agua de riego.»
3. «Duplicar el espesor de arena duplica el porcentaje retirado.»
4. «Una CE de 1.5 dS/m prohíbe regar.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. Sólo cumple un parámetro. Faltan los microbiológicos, los metales y otros.

2. Incorrecta. La arena retiene partículas. Las sales disueltas pasan.

3. Incorrecta. Con 90 % en 20 cm, en 40 cm no sería 180 %, sino 99 %. Se duplica el exponente, no el porcentaje.

4. Incorrecta. Es restricción ligera a moderada. Depende del cultivo, del suelo y del manejo.

6. Práctica en R

Vas a estimar λ con el perfil, a dimensionar el filtro, a clasificar pozos y a simular un estanque.

Carpeta IBS-MDO-Tema-IV2 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_IV2.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_IV2_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
perfil_turbiedad.csv	Turbiedad a 7 profundidades del filtro.
pozos.csv	CE y turbiedad de 8 pozos.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_IV2.Rproj y abre Tema_IV2_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 a 4. Estima λ, y calcula cuánto sale con 20 cm y cuánta arena hace falta para 4 UNT.
3. Bloque 5. Compara la simulación con la fórmula. Después cambia paso a 0.1 y vuelve a ejecutar. ¿Qué pasa?
4. Bloques 6 a 8. Clasifica los pozos para riego, y completa la línea de turbiedad.
5. Bloques 9 y 10. Simula el estanque, y comprueba tu Ejercicio 3.
6. Decide: ¿qué pozos usarías para regar? Si tu respuesta depende de algo, escríbelo.
7. Bloque 11. Borra el # de cada línea, ejecútala y lee qué contesta R. Dos de ellas no marcan error, pero están mal.

Ver las respuestas de la práctica

Bloque 2. R da 4.062997 y -0.117104, con R² = 0.999. Entonces, λ = 0.117 por cm y C₀ = exp(4.063) = 58 UNT.

Lo que dibuja R: una curva en escala normal y una recta en logaritmos.

Bloque 4. 5.59 UNT, 90.4 % y 22.9 cm.

Bloque 5. Con paso <- 1, la simulación da 4.81 UNT en 20 cm, contra 5.59 de la fórmula. Con paso <- 0.1 da 5.51. El paso importa también en profundidad.

Bloques 7 y 8.

Pozo	CE (dS/m)	Riego	Turbiedad (UNT)	Contra 4 UNT
1	0.5	Sin restricción	1.2	Cumple
2	0.9	Moderada	3.5	Cumple
3	1.4	Moderada	6.0	No cumple
4	2.2	Moderada	2.1	Cumple
5	3.4	Severa	9.5	No cumple
6	0.6	Sin restricción	0.8	Cumple
7	1.8	Moderada	4.0	Cumple
8	4.1	Severa	15.0	No cumple

La línea de turbiedad es pozos$turbiedad <- ifelse(pozos$turbiedad_unt <= 4, "cumple", "no cumple").

Cumplir 4 UNT no vuelve potable a ningún pozo: es sólo un parámetro. El límite de consumo humano tampoco es el criterio para riego.

Bloques 9 y 10. La CE a los 20 días es 1.498 dS/m, contra 1.485 de la fórmula. Rebasa 1.5 dS/m el día 21.

Decidir, por ejemplo: «Pozos 1 y 6 para cualquier cultivo. Pozos 2, 3, 4 y 7, según el cultivo y el suelo, o mezclados con agua de menor CE. Los pozos 5 y 8 tienen restricción severa: necesitan cultivos tolerantes y manejo especial, o mezcla.»

Bloque 11.

• lm(turbiedad_unt ~ profundidad_cm, data = perfil) no marca error, pero le falta log(): ajusta una recta a una curva.
• ifelse(pozos$ce_ds_m < 0.7, "sin restriccion") falla, porque falta el valor si no se cumple la condición.
• C0 * exp(lambda * 20) no marca error, pero le falta el signo menos: da 602 UNT. Un filtro no aumenta la turbiedad, así que el resultado delata el error.

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
el argumento "no" está ausente	A ifelse() le falta su tercera parte.	Escribe lo que va si no se cumple.
objeto 'lambda' no encontrado	No has creado los parámetros.	Ejecuta el Bloque 3.
NaNs produced	Pediste el logaritmo de un número negativo.	Revisa los datos.
+ en la consola	Falta cerrar un paréntesis.	Presiona Esc y revisa la línea.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Se mezclan partes iguales de agua de 1 dS/m y de 3 dS/m. ¿Qué CE sale?

1. 4 dS/m
2. 2 dS/m
3. 3 dS/m

Es un promedio ponderado por caudal. Con partes iguales, (1 + 3) ÷ 2 = 2 dS/m.

2. Un tanque de 500 L recibe 10 L/min. ¿Cuál es su tiempo de residencia?

1. 5 000 min
2. 10 min
3. 50 min

τ = V ÷ Q = 500 ÷ 10 = 50 min.

3. Las partículas caen de manera exponencial con la profundidad. ¿Qué retiene más: los primeros 5 cm o los últimos 5 cm?

1. Los primeros
2. Los últimos
3. Igual

Cada capa retira una fracción de lo que le llega, y a las primeras les llega más.

4. ¿Qué retiene principalmente un filtro de arena?

1. Sales disueltas
2. Partículas
3. Todo lo que trae el agua

Por eso baja la turbiedad, y casi no cambia la conductividad eléctrica.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
lm(log(y) ~ x, data = d)	Recta en logaritmos	PENDIENTE con columna de LN
ifelse(cond, a, b)	Si se cumple, a; si no, b	SI(cond, a, b)
dias[CE > 1.5][1]	El primer día que cumple la condición	INDICE y COINCIDIR

Fuentes

• Secretaría de Salud. NOM-127-SSA1-2021, Agua para uso y consumo humano. Límites permisibles de la calidad del agua. Diario Oficial de la Federación, 2 de mayo de 2022.
• Ayers, R. S. y Westcot, D. W. (1985). Water quality for agriculture. FAO, Irrigation and Drainage Paper 29, Rev. 1.