Prueba estadística

Diferencia de medias, intervalo de confianza y valor p

2026-11-05

Docencia/ Modelos de Optimización/ Unidad II

Tema II.3 · Unidad II · Calidad de la información

Prueba estadística

Diferencia de medias, intervalo de confianza y valor p

¿Conviene sembrar temprano?

• Teoría y ejemplo resuelto
• Ejercicios en papel con respuestas
• Práctica en R
• Versión 1 · noviembre de 2026

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Escucha primero

Si quieres una primera idea antes de leer, estos audios cuentan de qué trata el tema en unos 5 minutos. Son opcionales, y la página se entiende sin ellos. La voz es generada por computadora.

1. El problema1 min

2. La idea central2 min

3. Lo que no dice, y qué sigue2 min

Leer el texto de los audios

1. El problema

Imagina que trabajas con una asociación de productores de trigo en el Valle del Yaqui. Tienen que recomendar una fecha de siembra, y uno de los socios llega con una conclusión.

Revisó las primeras ocho parcelas de la libreta: cuatro sembradas temprano y cuatro sembradas tarde. Las tardías promediaron casi siete toneladas por hectárea. Las tempranas, un poco más de seis y media. Y su conclusión es directa: conviene sembrar tarde.

La cuenta está bien hecha. Un promedio es mayor que el otro. Pero antes de recomendarle algo a toda una asociación, hay una pregunta incómoda: ¿qué habría pasado si revisa otras ocho parcelas?

Dos parcelas nunca rinden igual, aunque se siembren el mismo día. Por eso, los promedios de dos grupos casi nunca salen idénticos, incluso cuando entre ellos no hay ninguna diferencia de fondo. Ver que un promedio es mayor que otro no alcanza.

La pregunta de este tema es otra: esa diferencia, ¿es más grande de lo que el azar podría producir por sí solo?

La herramienta que ayuda a responderla se llama prueba estadística. Y la vas a necesitar cada vez que compares dos grupos: dos fechas de siembra, dos dietas, dos sustratos.

2. La idea central

Piensa en alguien que te habla en un cuarto con ruido. Si te habla fuerte y hay poco ruido, le entiendes sin problema. Si te habla con la misma fuerza, pero el ruido es enorme, ya no estás tan seguro de lo que dijo.

Con los datos pasa lo mismo. La diferencia entre los dos promedios es la voz. La variación entre una parcela y otra es el ruido. Y hay una tercera cosa que ayuda: la cantidad de datos, que es como escuchar la misma frase muchas veces.

Por eso, una comparación necesita tres cosas: cuánto difieren los promedios, cuánto varían los datos, y cuántos datos hay.

La prueba empieza con una suposición que se llama hipótesis nula. Dice que no hay diferencia real entre los grupos, y que lo que ves se debe al azar. Luego pregunta: si eso fuera cierto, ¿qué tan difícil sería obtener estos datos?

Para responder, se calcula el error estándar. Es una estimación de cuánto se movería la diferencia si repitieras el estudio con otras parcelas. Después se divide la diferencia entre ese error estándar, y se obtiene un número llamado t. Es la voz dividida entre el ruido. Cuando hay bastantes datos y ese número pasa de dos, la diferencia ya es difícil de atribuir al azar.

De ahí salen los dos resultados que vas a leer siempre. El primero es el intervalo de confianza: un rango de valores que son compatibles con los datos para la diferencia real. Si ese rango no incluye el cero, los datos apuntan a una diferencia real. Si lo incluye, no se puede descartar que no haya ninguna.

El segundo es el valor p. Responde esto: si en realidad no hubiera diferencia, ¿qué tan probable sería ver una así de grande, o mayor, sólo por azar? Por costumbre, si esa probabilidad es menor al cinco por ciento, la diferencia se llama estadísticamente significativa. Cuidado: el valor p no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta. Ese es el error más común, y vas a practicar cómo evitarlo.

3. Lo que no dice, y qué sigue

Una prueba estadística también tiene límites, y conviene llevarlos en la cabeza desde ahora. Son tres.

Primero: no encontrar evidencia de una diferencia no quiere decir que los grupos sean iguales. Con pocos datos, quizá la prueba simplemente no alcanzó a detectarla.

Segundo: significativo no quiere decir causado. Si las parcelas tardías también pasaron más calor, parte de la diferencia podría venir del calor y no de la fecha.

Tercero: significativo no quiere decir importante. Con muchísimos datos, hasta una diferencia diminuta sale significativa. Siempre hay que preguntar cuánto vale esa diferencia en toneladas, en dinero o en riesgo.

Ahora ya sabes de qué trata el tema, y puedes pasar a la página. Te sugiero seguirla en orden.

Primero verás una figura con dos comparaciones. Las dos tienen exactamente la misma diferencia entre promedios, pero en una el ruido es pequeño y en la otra es grande. Fíjate en cómo cambia lo que puedes concluir.

Más adelante hay un recuadro interactivo que simula muchos estudios. Cambia la cantidad de datos, y mira cuántos estudios logran detectar una diferencia que sí existe.

Después viene un ejemplo resuelto con dos dietas para tilapia. Ese sólo se lee. Ahí está la cuenta a mano, y la salida del programa explicada renglón por renglón.

Luego siguen los ejercicios en papel, que traen sus respuestas. Intenta cada uno antes de abrir la respuesta.

Al final, ya con la teoría clara, abres R y repites la comparación del trigo: primero con las ocho parcelas del socio, y luego con cuatrocientas. Compara lo que obtienes en los dos casos. Ahí se entiende por qué nadie debería decidir con ocho parcelas.

De qué trata

Con la distribución normal aprendiste a decir si un dato es raro. Muchas decisiones comparan dos grupos: dos fechas de siembra, dos dietas, dos sustratos. Sus promedios casi nunca salen iguales, aunque los tratamientos sean equivalentes. Una prueba estadística ayuda a decidir si la diferencia es más grande de lo que el azar explicaría por sí solo.

Antes · Tema II.2 Distribución normal ¿Qué es normal y qué es raro?

Este tema · II.3 Prueba estadística ¿La diferencia es real?

Después · Tema II.4 Correlación y regresión ¿Cuánto rinde cada kilo de nitrógeno?

Al terminar este tema podrás:

1. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de una comparación entre dos grupos.
2. Calcular a mano la diferencia de medias, su error estándar y el estadístico t.
3. Leer en la salida de R la diferencia, el intervalo de confianza y el valor p.
4. Explicar por qué el volumen de datos cambia la conclusión.
5. Distinguir entre significativo, causal e importante en la práctica.

Palabras clave hipótesis nula hipótesis alternativa error estándar prueba t intervalo de confianza valor p significancia volumen de datos variable de confusión

Cómo usar esta página

Sigue este orden: primero la teoría (secciones 1 a 3) y el ejemplo resuelto (sección 4), que sólo se lee. Después los ejercicios en papel (sección 5), que traen su respuesta. Abre R hasta la práctica (sección 6), cuando ya sepas qué vas a buscar en la salida. Los datos de este tema son didácticos.

1. El problema: ¿conviene sembrar temprano?

Una asociación de productores de trigo del Valle del Yaqui quiere recomendar una fecha de siembra. Un socio revisó las primeras 8 parcelas de la libreta y encontró esto:

4 parcelas tempranas 6.58 t/ha Promedio de rendimiento

4 parcelas tardías 6.96 t/ha Promedio de rendimiento

Su conclusión: «Conviene sembrar tarde»

El cálculo está bien, pero ¿basta con eso? Si tomara otras 8 parcelas, los promedios cambiarían, y quizá hasta se invertirían. Hace falta medir cuánto puede moverse una diferencia sólo por azar.

2. Por qué no basta comparar dos promedios

Las dos figuras muestran grupos cuyas medias están separadas exactamente por 1 t/ha. A la izquierda los datos varían poco y los grupos casi no se enciman. A la derecha varían mucho: una diferencia de 1 t/ha se pierde entre las parcelas.

Dos comparaciones con la misma diferencia de medias. Las líneas punteadas marcan las medias.

Por eso una comparación necesita tres cosas: cuánto difieren las medias, cuánto varían los datos y cuántos datos hay.

3. La prueba paso a paso

3.1 Las dos hipótesis

Una prueba parte de dos afirmaciones que compiten:

Hipótesis	Qué afirma	En el trigo
Nula (H₀)	No hay diferencia entre los grupos; lo observado se debe al azar	El rendimiento medio es igual en ambas siembras
Alternativa (H₁)	Sí hay diferencia entre los grupos	El rendimiento medio es distinto

La prueba no demuestra que una sea verdadera. Pregunta si los datos son difíciles de explicar suponiendo que H₀ es cierta.

3.2 El error estándar de la diferencia

Si repitieras el estudio con otras parcelas, la diferencia de medias cambiaría. El error estándar (EE) estima cuánto suele moverse. Crece con la dispersión de los datos y baja cuando hay más datos.

EE = √( s₁²/n₁ + s₂²/n₂ )

s₁ y s₂ son las desviaciones estándar de cada grupo; n₁ y n₂, sus tamaños. Va en las mismas unidades que los datos.

No confundas la desviación estándar, que dice cuánto varían las parcelas, con el error estándar, que dice cuánto varía la diferencia de medias entre un estudio y otro.

3.3 El estadístico t: señal entre ruido

t = diferencia de medias ÷ EE

Dice cuántos errores estándar mide la diferencia. No tiene unidades. Como guía, cuando hay bastantes datos, |t| mayor que 2 ya es difícil de atribuir al azar.

Esta versión, que no supone que los dos grupos varían igual, se llama prueba t de Welch. Es la que hace R de manera predeterminada.

3.4 El intervalo de confianza

La diferencia que calculas es una estimación. El intervalo de confianza al 95 % da un rango de valores compatibles con los datos para la diferencia real:

IC 95 % = diferencia ± multiplicador × EE

El multiplicador se acerca a 2 cuando hay muchos datos y crece cuando hay pocos: con 4 + 4 datos es cerca de 2.45. R lo calcula por ti.

Cómo leerlo: si el intervalo no incluye el 0, los datos apuntan a una diferencia real, y sus extremos dicen qué tan grande podría ser. Si incluye el 0, los datos no permiten descartar que no haya diferencia.

3.5 El valor p

Valor p

Si en realidad no hubiera diferencia (H₀ cierta), es la probabilidad de obtener por azar una diferencia tan grande como la observada, o mayor.

Valor p	Cómo se lee
Menor que 0.05	Diferencia estadísticamente significativa: se rechaza H₀
0.05 o mayor	No hay evidencia suficiente de diferencia: no se rechaza H₀

El 0.05 es una convención, no una frontera natural: p = 0.049 y p = 0.051 dicen casi lo mismo. Por eso conviene reportar la diferencia y su intervalo, además de p. Y el valor p no es la probabilidad de que H₀ sea cierta.

3.6 El volumen de datos importa

Con pocos datos, el EE es grande: una diferencia real puede pasar inadvertida. Con muchos, el EE se reduce y la prueba detecta diferencias más pequeñas. Compruébalo con datos simulados.

Prueba ¿Azar o diferencia real? Cada punto es un estudio simulado que compara dos grupos. El punto se resalta cuando el intervalo de confianza del estudio no incluye el 0. Cambia el número de datos y la diferencia real, y toma más estudios.

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3.7 Lo que una prueba no dice

«No hay evidencia» no es «son iguales». Un p alto, sobre todo con pocos datos, sólo dice que no se pudo detectar una diferencia.

Significativa no es causal. Si los grupos difieren en algo más, como la temperatura, esa variable de confusión podría explicar parte de la diferencia. Sólo un experimento con asignación al azar separa mejor las causas.

Significativa no es importante. Con muchos datos, una diferencia diminuta sale significativa. Hay que preguntar si vale la pena en t/ha, en dinero o en riesgo.

Qué supone la prueba t. Los datos de cada grupo son independientes entre sí y tienen una forma aproximadamente normal; con grupos grandes, este segundo punto pesa menos. Por eso primero se miran los datos con una gráfica. Para comparar más de dos grupos se usa otra prueba, el análisis de varianza (ANOVA).

4. Ejemplo resuelto: dos dietas para tilapia

Este ejemplo sólo se lee. Un productor probó dos dietas en 30 estanques de tilapia, 15 con cada una, y registró el peso medio final por estanque (datos didácticos). ¿Alguna dieta da un peso distinto?

Paso 1 · Plantear las hipótesis. H₀: el peso medio es igual con ambas dietas. H₁: es distinto.

Paso 2 · Leer los datos y verlos. Una caja muestra la mediana (línea gruesa) y dónde queda la mitad central de los datos.

Script de R

tilapia <- read.csv("ejemplo_tilapia.csv")
boxplot(peso_g ~ dieta, data = tilapia)

Lo que dibuja R. La caja de la dieta B queda más arriba, aunque las dos se enciman en parte.

Paso 3 · Hacer la cuenta a mano. Los resúmenes por grupo son:

Dieta	n	Media (g)	Desviación estándar (g)
A	15	403.7	35.0
B	15	448.7	47.6

• Diferencia (B − A): 448.7 − 403.7 = 45.0 g
• EE = √( 35.0²/15 + 47.6²/15 ) = √( 81.7 + 151.1 ) = √232.8 = 15.3 g
• t = 45.0 ÷ 15.3 = 2.94

Paso 4 · Ejecutar la prueba. t.test() hace la misma cuenta y agrega el intervalo y el valor p.

Script de R

t.test(peso_g ~ dieta, data = tilapia)

R contesta en la consola

    Welch Two Sample t-test

data:  peso_g by dieta
t = -2.9445, df = 25.689, p-value = 0.006781
alternative hypothesis: true difference in means between group A and group B is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -76.31924 -13.54742
sample estimates:
mean in group A mean in group B
       403.7333        448.6667

Paso 5 · Leer la salida.

En la salida	Valor	Qué significa
t	−2.94	Coincide con la cuenta a mano. Es negativo porque R calcula A − B
df	25.7	Grados de libertad: los usa R para obtener p y el multiplicador
p-value	0.0068	Menor que 0.05: difícil de atribuir al azar
95 percent confidence interval	−76.3 a −13.5	Para A − B. No incluye el 0
sample estimates	403.7 y 448.7	Las dos medias

Paso 6 · Escribir la conclusión. Lleva la diferencia, el intervalo, el valor p, los datos usados y un límite:

Los estanques con la dieta B terminaron en promedio 45 g más pesados que con la dieta A (IC 95 %: 14 a 76 g; p = 0.007; 15 estanques por dieta). La diferencia es estadísticamente significativa, pero el intervalo es amplio. Antes de cambiar de dieta hay que comparar su costo con el valor de esos gramos.

5. Ejercicios en papel

Necesitas calculadora y cuaderno. Intenta cada ejercicio antes de abrir la respuesta.

Ejercicio 1 · Las 8 parcelas del socio, a mano

Siembra	Rendimiento (t/ha)	Media	Desviación estándar
Temprana	7.20 · 6.40 · 5.90 · 6.80	?	0.56
Tardía	7.50 · 6.10 · 7.06 · 7.17	?	0.60

1. Escribe H₀ y H₁.
2. Calcula las dos medias y la diferencia temprana − tardía.
3. Calcula el EE y t.
4. ¿Te parece que estos datos bastan para recomendar sembrar tarde? Justifica con t.

Ver la respuesta

1. H₀: el rendimiento medio es igual en ambas siembras. H₁: es distinto.

2. Temprana: 26.30 ÷ 4 = 6.58 t/ha. Tardía: 27.83 ÷ 4 = 6.96 t/ha. Diferencia: 6.58 − 6.96 = −0.38 t/ha.

3. EE = √( 0.56²/4 + 0.60²/4 ) = √( 0.0784 + 0.0900 ) = √0.1684 = 0.41 t/ha. t = −0.38 ÷ 0.41 = −0.93.

4. No. |t| es menor que 1: la diferencia mide menos de un error estándar y puede deberse al azar. No se puede recomendar ninguna fecha con estos datos.

Ejercicio 2 · Leer una salida de R

Se comparó el peso de lechuga cultivada en dos sustratos, con 10 plantas por sustrato (datos didácticos):

R contesta en la consola

    Welch Two Sample t-test

data:  peso_g by sustrato
t = -0.25704, df = 14.244, p-value = 0.8008
alternative hypothesis: true difference in means between group fibra and group turba is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -31.72499  24.92499
sample estimates:
mean in group fibra mean in group turba
              222.5               225.9

1. ¿Cuánto vale la diferencia fibra − turba, con unidades?
2. ¿El intervalo incluye el 0? ¿Qué quiere decir?
3. ¿Cuál es el valor p y qué decisión se toma sobre H₀?
4. Un compañero concluye: «los dos sustratos son iguales». ¿Cómo lo corregirías?

Ver la respuesta

1. 222.5 − 225.9 = −3.4 g.

2. Sí: va de −31.7 a 24.9 g. Los datos son compatibles con que no haya diferencia, y también con diferencias de unos 25 a 30 g hacia cualquier lado.

3. p = 0.80, mayor que 0.05: no se rechaza H₀.

4. «No hay evidencia suficiente de que los sustratos difieran con estas 20 plantas». El intervalo es ancho: una diferencia de varias decenas de gramos todavía es posible.

Ejercicio 3 · Revisar afirmaciones

Di si cada afirmación es correcta. Si no lo es, corrígela.

1. «p = 0.03 significa que hay 3 % de probabilidad de que H₀ sea cierta.»
2. «Si el IC 95 % de una diferencia va de 0.2 a 0.9 t/ha, la diferencia es significativa al 5 %.»
3. «La diferencia fue significativa, así que el tratamiento la causó.»
4. «Con 50 000 registros, p < 0.001, por lo tanto la diferencia es grande.»

Ver la respuesta

1. Incorrecta. p = 0.03 es la probabilidad de obtener una diferencia así o mayor si H₀ fuera cierta. No es la probabilidad de H₀.

2. Correcta. El intervalo no incluye el 0.

3. Incorrecta. Sólo muestra una diferencia que es difícil de atribuir al azar. Si no hubo asignación al azar, puede haber variables de confusión.

4. Incorrecta. Con tantos datos, hasta una diferencia diminuta sale significativa. El tamaño se lee en la diferencia y en su intervalo.

6. Práctica en R

Ahora vas a repetir la comparación del trigo en R, primero con 8 parcelas y luego con 400.

Carpeta IBS-MDO-Tema-II3 en Google Drive · script y datos
Descárgala completa con el botón de descarga de Drive («Descargar todo»). Drive la baja en un .zip: en Descargas, haz clic derecho → Extraer todo y trabaja dentro de la carpeta extraída.

Abrir en Drive

Archivo	Para qué
tema_II3.Rproj	Abre RStudio trabajando en esta carpeta. Siempre empieza con doble clic aquí.
Tema_II3_script.R	El script con los bloques que vas a ejecutar.
trigo_4_y_4.csv	Las 8 parcelas del Ejercicio 1.
trigo_parcelas.csv	La copia revisada de la libreta: 400 parcelas.
ejemplo_tilapia.csv	Los datos del ejemplo resuelto, por si quieres repetirlo.

1. Extrae la carpeta, haz doble clic en tema_II3.Rproj y abre Tema_II3_script.R desde el panel Files.
2. Bloques 1 a 3. Ejecuta la prueba con 4 contra 4. Compara t con tu Ejercicio 1 y anota el intervalo y p.
3. Bloques 4 a 6. Repite con 400 parcelas. Anota cuántas hay de cada siembra, las medias, el intervalo y p.
4. Escribe la diferencia temprana − tardía y su intervalo. Recuerda que R calcula tardía − temprana.
5. Bloque 7. Compara la temperatura de llenado de los dos grupos. ¿Qué limitación agrega a tu conclusión?
6. Con un precio supuesto de $6 000 por tonelada, ¿cuánto dinero representa la diferencia por hectárea?
7. Escribe tu conclusión con la estructura del Paso 6 del ejemplo.
8. Bloque 8. Borra el # de cada línea, ejecútala, lee el mensaje de R y escribe la línea correcta.

Ver las respuestas de la práctica

Datos	t	Medias: tardía y temprana (t/ha)	IC 95 % de tardía − temprana (t/ha)	p
4 + 4 parcelas	0.93	6.96 y 6.58	−0.62 a 1.39	0.39
400 parcelas (167 tardías y 233 tempranas)	−10.49	6.35 y 7.18	−0.98 a −0.67	< 0.001

R imprime p-value < 2.2e-16: es un número tan pequeño que R ya no lo muestra exacto. Se reporta como p < 0.001.

Lo que cambió. Con 8 parcelas, la diferencia incluso sale al revés, pero el intervalo incluye el 0. Con 400, el intervalo es angosto y no lo incluye.

Diferencia temprana − tardía: 0.82 t/ha (IC 95 %: 0.67 a 0.98 t/ha).

Temperatura de llenado: tardías 32.7 °C y tempranas 30.6 °C (p < 0.001). Los grupos también difieren en calor, así que la fecha podría no ser la única causa.

Dinero: 0.82 × $6 000 = $4 920 por hectárea (de $4 020 a $5 880 con el intervalo), sin descontar costos.

Conclusión de ejemplo: «Las parcelas de siembra temprana rindieron en promedio 0.82 t/ha más que las tardías (IC 95 %: 0.67 a 0.98 t/ha; p < 0.001; 233 y 167 parcelas). La diferencia no parece deberse al azar. Pero las tardías también llenaron grano con unos 2 °C más, y no sabemos cuánto de la diferencia se debe a la fecha y cuánto a ese calor.»

Bloque 8.

• t.test(siembra ~ rendimiento_t_ha, data = datos) tiene las columnas al revés. Primero va la variable numérica: t.test(rendimiento_t_ha ~ siembra, data = datos).
• t.test(rendimiento_t_ha ~ siembra) no dice en qué tabla buscar. Falta data = datos.
• t.test(rendimiento ~ siembra, data = datos) usa un nombre de columna que no existe. Debe ser rendimiento_t_ha.

Si R marca un error

Lo que ves	Qué significa	Qué hacer
grouping factor must have exactly 2 levels	La columna a la derecha de ~ no tiene exactamente dos grupos.	Revisa el orden de las columnas y los códigos con table().
objeto 'rendimiento_t_ha' no encontrado	R no sabe en qué tabla está la columna.	Agrega data = datos.
objeto 'datos' no encontrado	No has ejecutado la línea que crea la tabla.	Ejecuta primero el Bloque 4.
no se puede abrir la conexión (cannot open file)	R no encuentra el archivo.	Abre RStudio con doble clic en tema_II3.Rproj, en la carpeta extraída.
No veo la gráfica	Las gráficas salen en el panel Plots.	Haz clic en la pestaña Plots, abajo a la derecha.

7. ¿Lo entendiste?

Cuatro preguntas rápidas Elige una respuesta para ver la explicación; puedes volver a intentar.

1. Dos grupos tienen la misma diferencia de medias. ¿En qué caso es más probable que la prueba sea significativa?

1. Pocos datos y mucha dispersión
2. Muchos datos y poca dispersión
3. Da igual: sólo importa la diferencia

Con muchos datos y poca dispersión, el error estándar es pequeño y t crece. La misma diferencia pesa más cuando hay menos ruido.

2. El IC 95 % de una diferencia va de −1.2 a 0.4 t/ha. ¿Qué concluyes?

1. El primer grupo rinde 1.2 t/ha menos
2. Los dos grupos son iguales
3. No hay evidencia suficiente de una diferencia

El intervalo incluye el 0, así que no se puede descartar que no haya diferencia. Tampoco prueba que sean iguales: diferencias de hasta 1.2 t/ha siguen siendo compatibles con los datos.

3. Las parcelas con riego por goteo rindieron más (p = 0.01), pero también son las de suelos mejores. ¿Qué es el suelo aquí?

1. Una posible variable de confusión
2. El valor p
3. La hipótesis nula

El suelo difiere entre los grupos y también puede afectar al rendimiento. Por eso la prueba no permite atribuir toda la diferencia al goteo.

4. ¿Qué dice el error estándar de la diferencia?

1. Cuánto varían las parcelas dentro de cada grupo
2. Cuánto se movería la diferencia de medias de un estudio a otro
3. La probabilidad de que H₀ sea cierta

Lo primero lo dice la desviación estándar. El error estándar se refiere a la estimación de la diferencia y baja cuando hay más datos.

Instrucciones de R de este tema

Instrucción	Qué hace	En Excel sería
boxplot(y ~ grupo, data = datos)	Dibuja una caja por grupo	Insertar → Cajas y bigotes
t.test(y ~ grupo, data = datos)	Prueba t entre dos grupos: t, intervalo, p y medias	PRUEBA.T(rango1, rango2, 2, 3), sólo para p